Question

Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 8, а двугранный угол, прилежащий к стороне основания, равен 30°.Найдите 3/4 часть боковой поверхности пирамиды.

Answer 1

Для обчислення 3/4 частини бічної поверхні піраміди, спершу треба знайти висоту бічної грані.

За даними, висота піраміди (h) дорівнює 8, а двогранний кут (α) прилеглий до сторони основи дорівнює 30°. Оскільки піраміда правильна, то вона має рівносторонній трикутник у площині основи. Таким чином, кожний кут трикутника дорівнює 60°.

Відомо, що висота трикутника дорівнює \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) раза довжини сторони, тому висота трикутника (h') дорівнює:
\[h' = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot a,\]
де \(a\) - довжина сторони основи.

Далі, можна виразити \(a\) через \(h\):
\[8 = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot a,\]
\[a = \dfrac{16}{\sqrt{3}}.\]

Тепер ми можемо обчислити площу бічної поверхні піраміди (S):
\[S = \dfrac{1}{2} \cdot \text{основа} \cdot \text{висота бічної грані}.\]
Оскільки висота трикутника \(h'\) дорівнює висоті бічної грані піраміди, то:
\[S = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{16}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 8,\]
\[S = \dfrac{64}{\sqrt{3}}.\]

Тепер, знаючи площу бічної поверхні піраміди, можна обчислити 3/4 цієї площі:
\[3/4 \cdot S = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{64}{\sqrt{3}} = \dfrac{192}{\sqrt{3}} \approx 110.851.\]

Answer 2

Для нахождения 3/4 части боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, нам сначала нужно найти боковую площадь всей пирамиды, а затем умножить ее на 3/4.

1. Найдем боковую площадь пирамиды. Боковая поверхность пирамиды состоит из четырех равных треугольников. Для нахождения площади одного такого треугольника, нужно знать его высоту и длину стороны основания.

   Высота пирамиды равна 8.

   Теперь найдем длину стороны основания. Двугранный угол, прилежащий к стороне основания и вершине пирамиды, равен 30°. Этот угол делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Половина основания является катетом одного из этих треугольников, и мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения длины этой половины.

   Так как tg(30°) = 1/√3, то

   половина основания = 8 * (1/√3) = (8/√3).

2. Теперь найдем площадь одного треугольника боковой поверхности:

   Площадь = (1/2) * (сторона основания) * (высота) = (1/2) * (8/√3) * 8 = (32/√3).

3. Чтобы найти боковую площадь всей пирамиды, умножим площадь одного треугольника на 4 (пирамида имеет 4 боковые треугольные грани):

   Боковая площадь = 4 * (32/√3) = (128/√3).

4. Наконец, чтобы найти 3/4 часть боковой поверхности, умножим ее на 3/4:

   3/4 * (128/√3) = (3/4) * (128/√3) = (96/√3).

Ответ: 3/4 часть боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна (96/√3). Это может быть приближенно округлено до нужного десятичного значения, если необходимо.