Question

Срочно надо, прошу помогите Найдите площадь фигуры, ограниченой графиками функции y=x^2 и y=9+6x-2x^2.Ответ укажите в виде десятичной дроби

Answer 1

Первый график это парабола, ветви вверх, причем y(0)=0
Второй график это парабола, ветви вниз, причем y(0) = 9

Значит фигура находится ниже второго графика но выше первого.
x-координаты точек пересечения графиков находятся легко

$x^2=9+6x-2x^2\\3x^2-6x-9=0\\x^2-2x-3=0\\(x-3)(x+1)=0$

Значит интегрируем мы от -1 до 3. Сама площадь

$\displaystyle S = \int\limits_{-1}^{3}(9+6x-2x^2-x^2)dx = \\3\int\limits_{-1}^{3}(3+2x-x^2)dx = 3(3x+x^2-x^3/3)|\limits_{-1}^{3}= 3\cdot(9+5/3) = 32$

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x^2 и y = 9 + 6x - 2x^2, сначала нужно найти точки их пересечения. Это места, где обе функции имеют одинаковые значения y.

Сначала приравняем выражения для y друг к другу и найдем значения x:

x^2 = 9 + 6x - 2x^2

Теперь решим это уравнение:

3x^2 - 6x - 9 = 0

Вынесем общий множитель:

3(x^2 - 2x - 3) = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

x^2 - 2x - 3 = 0

Используем квадратное уравнение:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 1, b = -2 и c = -3.

x = (2 ± √((-2)^2 - 4(1)(-3))) / (2(1)) x = (2 ± √(4 + 12)) / 2 x = (2 ± √16) / 2 x = (2 ± 4) / 2

Теперь найдем два значения x:

1. x = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3
2. x = (2 - 4) / 2 = -2 / 2 = -1

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: x = 3 и x = -1.

Теперь мы можем найти соответствующие значения y для этих x, используя обе функции:

Для y = x^2:

1. При x = 3: y = 3^2 = 9
2. При x = -1: y = (-1)^2 = 1

Для y = 9 + 6x - 2x^2:

1. При x = 3: y = 9 + 6(3) - 2(3^2) = 9 + 18 - 18 = 9
2. При x = -1: y = 9 + 6(-1) - 2(-1^2) = 9 - 6 - 2 = 1

Таким образом, точки пересечения графиков функций имеют координаты (3, 9) и (-1, 1).

Теперь мы можем найти площадь фигуры, ограниченной этими графиками. Это можно сделать с помощью интеграла. Площадь будет равна разности интегралов функций между пределами x = -1 и x = 3:

Площадь = ∫[от -1 до 3] (y1 - y2) dx

где y1 - это уравнение графика y = x^2, а y2 - уравнение графика y = 9 + 6x - 2x^2.

Подставим значения y1 и y2:

Площадь = ∫[-1 до 3] (x^2 - (9 + 6x - 2x^2)) dx

Теперь проинтегрируем это выражение:

Площадь = ∫[-1 до 3] (3x^2 - 6x - 9) dx

Площадь = [x^3 - 3x^2 - 9x] от -1 до 3

Теперь вычислим разность значений этой функции в пределах от -1 до 3:

Площадь = [(3^3 - 33^2 - 93) - ((-1)^3 - 3*(-1)^2 - 9*(-1))]

Площадь = [(27 - 27 - 27) - (-1 + 3 - 9)]

Площадь = (-27 + 1 + 3 + 9) = -14

Ответ в виде десятичной дроби: -14.