Question

Найдите всевозможные натуральные числа А , такие , что числа А-7 и А+8 являются квадратами целых чисел.И докажите , что других нет. Верно ли , что в любом наборе из пяти чисел, каждое из которых равно либо 1 , либо 2 , либо 3, найдутся три , сумма которых делится на 3 ? Почему?

Answer 1

Про набор из чисел.
пусть есть число которое встречается не менее 3 раз тогда все хорошо.пусть теперь каждое число встречается не более 2 раз, 2 числа по 2 раза, 1 число один раз. среди них есть 1,2,3.Успех

Answer 2

Давайте начнем с первой части вашего вопроса.

Чтобы найти все натуральные числа A, такие, что A-7 и A+8 являются квадратами целых чисел, давайте представим это в виде уравнений:

1. A - 7 = x^2, где x - целое число.
2. A + 8 = y^2, где y - целое число.

Мы можем выразить A из первого уравнения:

A = x^2 + 7.

Теперь подставим это значение A во второе уравнение:

x^2 + 7 + 8 = y^2, x^2 + 15 = y^2.

Это уравнение представляет собой разницу двух квадратов. Мы можем записать его в виде (y + x√15)(y - x√15) = 15. Так как 15 - это произведение трех простых чисел (3, 5 и 1), мы можем рассмотреть различные способы его разложения:

1. (y + x√15) = 15 и (y - x√15) = 1
2. (y + x√15) = 5 и (y - x√15) = 3
3. (y + x√15) = 3 и (y - x√15) = 5
4. (y + x√15) = 1 и (y - x√15) = 15

Теперь решим каждое из этих уравнений:

1. Для первого случая: y + x√15 = 15 y - x√15 = 1

   Сложим оба уравнения: 2y = 16 y = 8

   Теперь найдем x: x√15 = 15 - 8 = 7 x = 7/√15

   Но x должно быть целым числом, и это не выполняется, так как 7 и √15 взаимно просты. Поэтому этот случай не подходит.

2. Для второго случая: y + x√15 = 5 y - x√15 = 3

   Сложим оба уравнения: 2y = 8 y = 4

   Теперь найдем x: x√15 = 5 - 4 = 1 x = 1/√15

   Как и в первом случае, x не является целым числом, поэтому этот случай не подходит.

3. Для третьего случая аналогично не подходит.

4. Для четвертого случая: y + x√15 = 1 y - x√15 = 15

   Сложим оба уравнения: 2y = 16 y = 8

   Теперь найдем x: x√15 = 1 - 8 = -7 x = -7/√15

   Так как мы ищем натуральные числа A, этот случай тоже не подходит.

Итак, из всех возможных разложений 15 на два множителя ни одно не приводит к натуральному числу A. Значит, нет натуральных чисел A, для которых A-7 и A+8 были бы квадратами целых чисел.

Теперь перейдем ко второй части вашего вопроса.

Да, верно, что в любом наборе из пяти чисел, каждое из которых равно либо 1, либо 2, либо 3, найдутся три числа, сумма которых делится на 3. Это следует из теории остатков при делении на 3.

Рассмотрим все возможные комбинации остатков от деления чисел 1, 2 и 3 на 3: 1 % 3 = 1 2 % 3 = 2 3 % 3 = 0

Из этого видно, что каждое из чисел 1, 2 и 3 имеет остаток при делении на 3, равный самому себе. Это значит, что в любом наборе из пяти чисел, сумма остатков этих чисел при делении на 3 должна быть равна одной из следующих величин: 0, 1 или 2.

Теперь представьте, что у вас есть пять чисел, и все они равны 1, 2 или 3. Попробуйте перебрать все возможные комбинации этих чисел. Вы увидите, что в какой бы комбинации вы их не расположили, сумма остатков при делении на 3 будет либо 0, либо 1, либо 2. Таким образом, как минимум одна из этих сумм обязательно будет делиться на 3.