Question

Найти промежуток возрастания, убывания и экстремула функции у=x-2x^{3}-8 x^{2} +24+8

Answer 1

Y`=1-6x²-16x=0
D=256+24=280
x1=(16-2√70)/-12=(√70-8)/6
x2=(-√70-8)/6
               _                             +                           _
____________________________________________
убыв              (-√70-8)/6  возр        (√70-8)/6      убыв
                             min                        max

Answer 2

Для определения промежутков возрастания, убывания и экстремумов функции f(x) = x - 2x^3 - 8x^2 + 24x + 8, начнем с вычисления производной и найдем критические точки, где производная равна нулю или не существует. Затем, используя тест первой производной, определим промежутки возрастания и убывания. Наконец, мы найдем экстремумы, проверяя изменение знака производной в окрестности критических точек.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = 1 - 6x^2 - 16x

2. Решим уравнение f'(x) = 0 для поиска критических точек: 1 - 6x^2 - 16x = 0

   Для решения этого квадратного уравнения можно использовать квадратное уравнение: 6x^2 + 16x - 1 = 0

   Решим его с помощью квадратного корня или других методов. Решения уравнения дают критические точки.

3. Найденные критические точки будут x_1 и x_2 (если они существуют).

4. Теперь проведем тест первой производной, чтобы определить промежутки возрастания и убывания.

   • Выберем произвольную точку в интервале (-∞, x_1) и подставим ее в f'(x). Если f'(x) > 0, то функция возрастает на этом интервале.
   • Выберем произвольную точку в интервале (x_1, x_2) и подставим ее в f'(x). Если f'(x) < 0, то функция убывает на этом интервале.
   • Выберем произвольную точку в интервале (x_2, +∞) и подставим ее в f'(x). Если f'(x) > 0, то функция снова возрастает на этом интервале.

5. Для поиска экстремумов проверим изменение знака производной в окрестности критических точек. Если производная меняет знак с "плюс" на "минус", то в точке есть локальный максимум, и наоборот, если производная меняет знак с "минус" на "плюс", то в точке есть локальный минимум.

Теперь проведем вычисления для конкретных значений критических точек (x_1 и x_2), если они есть, чтобы определить промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции f(x).