Question

при каком наименьшем натуральном значении параметра b уравнение: x^3+3x^2-45x+b=0 имеет ровно 1 корень?

Answer 1

Выражение: sin(20)*x+cos(24)*x
Ответ: sin(20)*x+cos(24)*x

Приводим к окончательному ответу с возможной потерей точности:
  Окончательный ответ: 1.25556560096827*x
  По действиям:  1. sin(20)=0.342020143325669  2. cos(24)=0.913545457642601  3. 0.342020143325669*x+0.913545457642601*x~~1.25556560096827*x
  По шагам:  1. 0.342020143325669*x+cos(24)*x    1.1. sin(20)=0.342020143325669  2. 0.342020143325669*x+0.913545457642601*x    2.1. cos(24)=0.913545457642601  3. 1.25556560096827*x    3.1. 0.342020143325669*x+0.913545457642601*x~~1.25556560096827*x

Answer 2

Чтобы уравнение $x^3+3x^2-45x+b=0$ имело ровно 1 корень, необходимо и достаточно, чтобы данное уравнение имело кратный корень. Кратный корень означает, что корень уравнения имеет кратность больше 1.

Давайте найдем производную данного уравнения и определим условие, при котором корень будет кратным:

Уравнение: $x^3+3x^2-45x+b=0$

Производная: $\frac{d}{dx}(x^3+3x^2-45x+b) = 3x^2+6x-45$

Теперь мы ищем значения $b$, при которых производная имеет кратный корень. Кратный корень производной означает, что производная исходной функции имеет горизонтальную касательную линию в этой точке, что соответствует кратному корню.

Решим уравнение $3x^2+6x-45=0$ и найдем его корни:

$3x^2+6x-45=0$ $x^2+2x-15=0$

Теперь используем квадратное уравнение, чтобы найти корни:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

В данном случае $a=1$, $b=2$ и $c=-15$, поэтому:

$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4(1)(-15)}}{2(1)}$ $x=\frac{-2\pm\sqrt{4+60}}{2}$ $x=\frac{-2\pm\sqrt{64}}{2}$ $x=\frac{-2\pm8}{2}$

Таким образом, у нас есть два корня:

1. $x_1=\frac{-2+8}{2}=3$
2. $x_2=\frac{-2-8}{2}=-5$

Теперь определим кратность каждого из этих корней, подставив их в исходное уравнение $x^3+3x^2-45x+b=0$:

1. Для $x=3$: $3^3+3(3)^2-45(3)+b=27+27-135+b=b-81$

2. Для $x=-5$: $(-5)^3+3(-5)^2-45(-5)+b=-125+75+225+b=b+75$

Теперь у нас есть два выражения для $b$ в зависимости от корней:

1. $b-81$ должно быть равно 0, чтобы корень $x=3$ был кратным.
2. $b+75$ должно быть равно 0, чтобы корень $x=-5$ был кратным.

Решим эти уравнения:

1. $b-81=0$ $b=81$

2. $b+75=0$ $b=-75$

Таким образом, наименьшее натуральное значение параметра $b$, при котором уравнение $x^3+3x^2-45x+b=0$ имеет ровно 1 корень, равно 81.