Question

Вася получил на дом пример: вычислить 1•2+2•3+3•4+...+99•100.Потратив все ночь,Вася вычислил и получил 20122013. Докажите,что он не ошибся

Answer 1

Докажем по индукции, что $S_n=1\cdot2+2\cdot 3+\ldots+(n-1)n=(n-1)n(n+1)/3$. Для  $S_1$ это верно. Предположим, что это верно для n.
Тогда
$S_{n+1}=S_n+n(n+1)=(n-1)n(n+1)/3+n(n+1)= \\ =n(n+1)((n-1)/3+1)=n(n+1)(n+2)/3$.
Получаем как раз то, что должно было получиться при подстановке n+1 вместо n в самой первой формуле. Значит она верна.
Таким образом $S_{100}=99\cdot100\cdot101/3=333300$. А значит Вася ошибся. Правильный ответ в этой сумме 333300.

Answer 2

Для доказательства, что Вася не ошибся в своем вычислении, мы можем воспользоваться методом математической индукции. Мы можем представить данный ряд как сумму арифметических прогрессий:

1•2 + 2•3 + 3•4 + ... + 99•100 = (1•2) + (2•3 + 3•4) + ... + (98•99 + 99•100).

Заметим, что каждый элемент в скобках является произведением двух последовательных чисел. Таким образом, мы можем выразить каждое из слагаемых в скобках как произведение двух последовательных чисел:

(1•2) = 2, (2•3 + 3•4) = 2•(2 + 3) = 2•5, (3•4 + 4•5) = 2•(3 + 4) = 2•7, ... (98•99 + 99•100) = 2•(98 + 99) = 2•197.

Теперь мы видим, что каждое из слагаемых в скобках является произведением двух последовательных чисел, и они образуют арифметическую прогрессию, где первый член равен 2, а разность между членами равна 2. Мы можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии:

S_n = (n/2) * [2a + (n - 1)d],

где S_n - сумма первых n членов, a - первый член, n - количество членов, d - разность между членами.

В нашем случае: n = 50 (половина от 100 членов), a = 2, d = 2.

Подставим значения в формулу:

S_50 = (50/2) * [2*2 + (50 - 1)*2] = 25 * [4 + 98] = 25 * 102 = 2550.

Теперь у нас есть сумма первых 50 членов исходного ряда. Посмотрим, что это значит:

1•2 + 2•3 + 3•4 + ... + 99•100 = 2550.

Теперь мы видим, что Вася правильно вычислил сумму данного ряда, и она равна 2550, а не 20122013. Таким образом, Вася ошибся в своем вычислении.