Question

Уже третий раз пишу этот пример, у меня баллы заканчиваются. Прошу не проходите мимо, помогите решить! Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=-x^2-4x-3 и y=x-3

Answer 1

Смотрите решение в прикреплённом файле.

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = -x^2 - 4x - 3 и y = x - 3, нужно найти точки их пересечения и затем вычислить определенный интеграл площади между этими двумя кривыми. Точки пересечения будут корнями уравнения, полученного из равенства двух функций.

Сначала найдем точки пересечения:

1. Поставьте y = -x^2 - 4x - 3 равным y = x - 3 и решите уравнение: -x^2 - 4x - 3 = x - 3

2. Перенесите все члены на одну сторону и упростите уравнение: -x^2 - 4x - 3 - x + 3 = 0 -x^2 - 5x = 0

3. Факторизуйте уравнение: -x(x + 5) = 0

4. Найдите корни: x = 0 и x = -5

Теперь у нас есть две точки пересечения: (0, -3) и (-5, -8). Эти точки будут верхней и нижней границей интегрирования для расчета площади между кривыми.

Далее, вычислим определенный интеграл этой разности функций на интервале от -5 до 0:

$S = \int_{-5}^{0} (x - (x^2 + 4x + 3)) \, dx$

Раскроем скобки:

$S = \int_{-5}^{0} (x - x^2 - 4x - 3) \, dx$

Теперь вычислим этот интеграл:

$S = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - 2x^2 - 3x\right]_{-5}^{0}$

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

$S = \left[\frac{0^2}{2} - \frac{0^3}{3} - 2(0^2) - 3(0)\right] - \left[\frac{(-5)^2}{2} - \frac{(-5)^3}{3} - 2(-5)^2 - 3(-5)\right]$

Вычисляем значения:

$S = \left[0 - 0 - 0 - 0\right] - \left[\frac{25}{2} + \frac{125}{3} - 2 \cdot 25 + 15\right]$

$S = -\left[\frac{25}{2} + \frac{125}{3} - 50 + 15\right]$

Теперь найдем общий знаменатель:

$S = -\left[\frac{75}{6} + \frac{250}{6} - \frac{300}{6} + \frac{90}{6}\right]$

$S = -\left[\frac{75 + 250 - 300 + 90}{6}\right]$

$S = -\left[\frac{115}{6}\right]$

Итак, площадь фигуры, ограниченной данными кривыми, равна $-\frac{115}{6}$ квадратных единиц.