Question

1. Делится ли на 6 число 10^2012 + 2012.Ответ обосновать. 2. Найдите наибольшие натуральное число, у которого все цифры разные и каждые две соседние цифры отличаются как минимум на 2

Answer 1

1) Да... 
10^2012 - это 1 и 2012 нулей... +2012... 
Число делится на 6 если оно чётное и сумма цифр делится на 3 (свойство делимости на 2 и 3)...
Число чётное, т.к. заканчивается на 2... сумма цифр = 1+2+1+2=6 делится на 3... 
Значит делится на 6
2) 9758642031

Answer 2

1. Давайте рассмотрим деление числа 10^2012 + 2012 на 6.

Сначала определим, кратно ли число 10^2012 + 2012 числу 2 и 3:

a) Число 10^2012 является степенью 10, следовательно, оно оканчивается на ноль, и, таким образом, оно кратно 2.

b) Чтобы определить, делится ли число на 3, мы можем сложить все его цифры и проверить, делится ли полученная сумма на 3. Однако для числа 10^2012 этот метод неэффективен из-за огромного количества цифр. Однако мы можем воспользоваться свойством степеней 10: сумма цифр числа 10^n всегда равна 1 (поскольку оно имеет только одну цифру 1, за которой следует n нулей). Таким образом, сумма цифр числа 10^2012 равна 1.

Теперь объединим результаты:

10^2012 + 2012 кратно 2 (делится на 2 без остатка) и имеет сумму цифр, кратную 3. Таким образом, оно также кратно 3.

Теперь у нас есть два условия: число делится на 2 и на 3 без остатка, что означает, что оно делится на 6 без остатка. Таким образом, число 10^2012 + 2012 делится на 6 без остатка.

2. Чтобы найти наибольшее натуральное число, у которого все цифры разные и каждые две соседние цифры отличаются как минимум на 2, давайте начнем с самой большой цифры и будем поочередно добавлять к числу цифры, следующие по возрастанию, при соблюдении указанных условий.

Самая большая цифра - это 9. Добавим ее к числу. Теперь нам нужно найти следующую максимальную цифру, которая отличается от 9 как минимум на 2. Это 7. Добавим 7 к числу. Теперь у нас есть 97.

Следующая максимальная цифра, отличающаяся от 7 как минимум на 2, - это 5. Добавим 5 к числу. Теперь у нас есть 975.

Продолжим этот процесс, добавляя к числу максимальные доступные цифры, отличающиеся от предыдущей цифры как минимум на 2:

• Добавим 3 (максимальная доступная цифра, отличающаяся от 5 на 2) - 9753.
• Добавим 1 (максимальная доступная цифра, отличающаяся от 3 на 2) - 97531.
• Добавим 0 (поскольку остались только 0 и 2, и 2 отличается от 1 на меньше чем 2) - 975310.

Таким образом, наибольшее натуральное число, у которого все цифры разные и каждые две соседние цифры отличаются как минимум на 2, равно 975310.