Question

Решить пределы, с подробным решением. Lim (x*y)/(x^2+y^2) X стремится к 0, Y стремится к бесконечности

Answer 1

Перейдем в полярную систему координат (полярный угол стремится к π/2)

$\displaystyle\\ \lim_{x \to 0, y\to\infty} \frac{xy}{x^2+y^2} = \lim _{\rho \to \infty, \varphi\to\pi/2}\frac{\rho^2\cos\varphi\sin\varphi}{\rho^2} = \cos(\pi/2)\sin(\pi/2) = 0$

Answer 2

Чтобы решить этот предел, давайте воспользуемся полярными координатами. Полярные координаты позволяют нам описать точку на плоскости с помощью расстояния от начала координат (радиуса, обозначим его как $r$) и угла $\theta$ между положительным направлением оси $x$ и линией, соединяющей начало координат с данной точкой.

В данной задаче предела, $x$ стремится к 0, а $y$ стремится к бесконечности. Давайте перейдем к полярным координатам:

$x = r \cos(\theta)$ $y = r \sin(\theta)$

Тогда исходное выражение примет вид:

$\frac{x \cdot y}{x^2 + y^2} = \frac{r \cos(\theta) \cdot r \sin(\theta)}{r^2 \cos^2(\theta) + r^2 \sin^2(\theta)} = \frac{r^2 \cos(\theta) \sin(\theta)}{r^2 (\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta))} = \frac{r^2 \cos(\theta) \sin(\theta)}{r^2} = \cos(\theta) \sin(\theta)$

Теперь, когда $x$ стремится к 0, это означает, что $r$ также стремится к 0. А так как $y$ стремится к бесконечности, угол $\theta$ будет стремиться к $\frac{\pi}{2}$ (половина периода синуса).

Таким образом, мы получили:

$\lim_{{x \to 0, \, y \to \infty}} \frac{x \cdot y}{x^2 + y^2} = \lim_{{r \to 0, \, \theta \to \frac{\pi}{2}}} \cos(\theta) \sin(\theta) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \cdot 1 = 1$

Итак, предел данной функции при $x$ стремящемся к 0 и $y$ стремящемся к бесконечности равен 1.