Question

Sin^2x+3sinxcosx-4cos^2x=0 Очень прошуу

Answer 1

Sin²x+3sinx*cosx-4cos²x=0 |: cos²x
sin²x/cos²x+3sinx*cosx/cos²x-4cos²x/cos²x=0
tg²x+3tgx-4=0

Пусть tgx=a
a²+3a-4=0
D=3²+4*4=25=5²
a₁=(-3-5)/2=-4
a₂=(-3+5)/2=1
tgx=-4
x=-arctg4+πn, n∈Z
tgx=1
x=π/4+πn, n∈Z

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить данное уравнение. Давайте начнем.

У вас есть квадратное уравнение относительно функций синуса и косинуса. Давайте перепишем его в более удобной форме:

$\sin^2x + 3\sin x \cos x - 4\cos^2x = 0.$

Давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами для упрощения выражения. Заметим, что $1 - \cos^2x = \sin^2x$ (тригонометрическое тождество синуса) и $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ (тригонометрическое тождество двойного угла для синуса).

Заменим $\sin^2x$ в уравнении и упростим выражение:

$\sin^2x + 3\sin x \cos x - 4\cos^2x = \sin^2x + 3\sin x \cos x - 4(1 - \sin^2x) = 5\sin^2x + 3\sin x \cos x - 4.$

Теперь мы можем заменить $\sin 2x$ и получить следующее:

$5\sin^2x + 3\sin x \cos x - 4 = 5\sin^2x + \sin 2x - 4.$

Используя $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, мы можем дальше упростить:

$5\sin^2x + \sin 2x - 4 = 5\sin^2x + 2\sin x \cos x - 4.$

Теперь мы имеем уравнение, в котором все слагаемые связаны с синусами. Давайте попробуем факторизовать его:

$5\sin^2x + 2\sin x \cos x - 4 = (5\sin x - 4)(\sin x + 1).$

Таким образом, у нас есть два множителя: $5\sin x - 4$ и $\sin x + 1$. Исходное уравнение равно нулю, поэтому каждый из множителей должен быть равен нулю:

1. $5\sin x - 4 = 0$
   Отсюда получаем: $\sin x = \frac{4}{5}$.

2. $\sin x + 1 = 0$
   Отсюда получаем: $\sin x = -1$.

Теперь найдем значения углов $x$, которые соответствуют этим значениям синуса. Для $\sin x = \frac{4}{5}$ угол $x$ может быть найден с помощью арксинуса: $x = \arcsin\left(\frac{4}{5}\right)$. Для $\sin x = -1$ угол $x$ равен $x = -\frac{\pi}{2}$.

Итак, у нас есть два решения для уравнения $\sin^2x + 3\sin x \cos x - 4\cos^2x = 0$:

1. $x = \arcsin\left(\frac{4}{5}\right)$
2. $x = -\frac{\pi}{2}$

Пожалуйста, обратите внимание, что в данном контексте арксинус возвращает угол в радианах.