Question

Пожалуйста решите уравнение log2 (x^2+8)-log2 (x-1)=log0,5 1/8

Answer 1

Log2 (x^2+8)-log2 (x-1)=log0,5 1/8
ОДЗ:
$\left \{ {{x^2+8\ \textgreater \ 0} \atop {x-1\ \textgreater \ 0}} \right. = \left \{ {{x^2+8\ \textgreater \ 0} \atop {x\ \textgreater \ 1}} \right$)
x∈(-1;+∞)
log2((x^2+8)/(x-1))=-log2(1/8)
((x^2+8)/(x-1))-8=0
(x^2+8-8x+8)/(x-1)=0
(x^2-8x+16)/(x-1)=0
(x-4)^2/(x-1)=0
x=4(x∈ОДЗ)
Ответ: х=4

Answer 2

Давайте решим данное уравнение пошагово:

Уравнение: $\log_2(x^2 + 8) - \log_2(x - 1) = \log_{0.5} \frac{1}{8}$

Для упрощения уравнения, используем некоторые свойства логарифмов:

1. Свойство деления логарифмов: $\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$

2. Свойство логарифма от обратной величины: $\log_a \frac{1}{b} = -\log_a b$

Применим свойства к уравнению:

$\log_2(x^2 + 8) - \log_2(x - 1) = \log_{0.5} \frac{1}{8}$ $\log_2 \frac{x^2 + 8}{x - 1} = \log_{0.5} \frac{1}{8}$

Сейчас мы имеем логарифмы с разными основаниями, поэтому давайте преобразуем основание логарифма в левой части уравнения:

$\frac{\log_{10} \frac{x^2 + 8}{x - 1}}{\log_{10} 2} = \frac{\log_{10} \frac{1}{8}}{\log_{10} 0.5}$

$\log_2 (x^2 + 8) - \log_2 (x - 1) = -3$

Теперь объединим логарифмы:

$\log_2 \frac{x^2 + 8}{x - 1} = -3$

Избавимся от логарифма, возведя 2 в степень обеих сторон уравнения:

$\frac{x^2 + 8}{x - 1} = 2^{-3}$ $\frac{x^2 + 8}{x - 1} = \frac{1}{8}$

Теперь умножим обе стороны на 8, чтобы избавиться от дроби:

$8(x^2 + 8) = x - 1$ $8x^2 + 64 = x - 1$

Перенесем все члены в одну сторону и получим квадратное уравнение:

$8x^2 - x + 65 = 0$

Данное уравнение не может быть решено аналитически с помощью обычных алгебраических методов. Для его решения потребуется использование численных методов или калькулятора.