Question

Найти наименьшее и наибольшее значение функции f(x)=2x^3-9x^2+12x-8 на отрезке [-1;0]

Answer 1

y=2x^3 - 9x^2 + 12x - 8
Вычислим значения в критических точках
y' = 6x^2 - 18x + 12
6x^2 - 18x + 12 = 0
x^2 - 3x + 2 = 0
D = 9 - 4*1*2 = 1
x1 = (3+1)/2 = 4/2 = 2 - не принадлежит [-1;0]
x2 = 2/2 = 1
f(1) = 2 - 9 + 12 - 8 =  -3
Вычислим значения функции  на концах отрезка:
f(-1) = -2 - 9 - 12 - 8 = -31
f(0) = -8
Наибольшее значение -3
Наименьшее значение -31

Answer 2

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 8 на отрезке [-1; 0], следует выполнить следующие шаги:

1. Найдем критические точки функции f(x), то есть точки, где производная функции равна нулю или не существует.

2. Оценим значение функции в критических точках и на границах интервала [-1; 0].

3. Выберем наименьшее и наибольшее из полученных значений.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x):

f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 8

f'(x) = 6x^2 - 18x + 12

Теперь найдем корни уравнения f'(x) = 0:

6x^2 - 18x + 12 = 0

Для этого разделим обе стороны на 6:

x^2 - 3x + 2 = 0

Факторизуем квадратное уравнение:

(x - 2)(x - 1) = 0

Из этого следует, что x = 2 или x = 1.

Шаг 2: Вычислим значения функции в найденных критических точках и на границах интервала:

f(-1) = 2(-1)^3 - 9(-1)^2 + 12(-1) - 8 = -2 + 9 - 12 - 8 = -13 f(0) = 2(0)^3 - 9(0)^2 + 12(0) - 8 = 0 - 0 + 0 - 8 = -8 f(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) - 8 = 2 - 9 + 12 - 8 = -3 f(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) - 8 = 16 - 36 + 24 - 8 = -4

Шаг 3: Наименьшее значение функции на отрезке [-1; 0] равно -13 (в точке x = -1), а наибольшее значение равно -3 (в точке x = 1).

Итак, наименьшее значение функции f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 8 на отрезке [-1; 0] равно -13, а наибольшее значение равно -3.