Question

Y=3x^4-16x^3-3 найдите количество точек экстремума

Answer 1

Применены : формулы дифференцирования, взаимозависимость функции и производной

Answer 2

Чтобы найти количество точек экстремума функции, нужно найти её производные и найти значения аргументов, где производные равны нулю.

Данная функция Y = 3x^4 - 16x^3 - 3 является полиномом четвёртой степени. Давайте найдем её производные:

Первая производная: Y' = d/dx (3x^4 - 16x^3 - 3) = 12x^3 - 48x^2

Вторая производная: Y'' = d/dx (12x^3 - 48x^2) = 36x^2 - 96x

Теперь найдем значения аргументов (x), при которых первая производная равна нулю: 12x^3 - 48x^2 = 0 12x^2 (x - 4) = 0

Отсюда видно, что есть два значения x: x = 0 и x = 4.

Теперь проверим знаки второй производной в этих точках:

При x = 0: Y''(0) = 360^2 - 960 = 0 < 0 (вторая производная отрицательна), значит, у функции есть локальный максимум в точке x = 0.

При x = 4: Y''(4) = 364^2 - 964 = 576 > 0 (вторая производная положительна), значит, у функции есть локальный минимум в точке x = 4.

Таким образом, у данной функции есть одна точка локального максимума (x = 0) и одна точка локального минимума (x = 4). То есть всего 2 точки экстремума.