Question

Lim x стремится к 4 (√x-2)/(√(1+2x)-3)

Answer 1

$\lim_{x\to 4} {\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{1+2x}-3} = \lim_{x\to 4} {\frac{(\sqrt{x}-2)*(\sqrt{1+2x}+3)}{(\sqrt{1+2x}-3)(\sqrt{1+2x}+3)}=$
$=\lim_{x\to 4} {\frac{(\sqrt{x}-2)*(\sqrt{x}+2)*(\sqrt{1+2x}+3)}{(2x-8)*(\sqrt{x}+2)}=\lim_{x\to 4} {\frac{(x-4)*(\sqrt{1+2x}+3)}{2(x-4)*(\sqrt{x}+2)}=$
$=\lim_{x\to 4} {\frac{\sqrt{1+2x}+3}{2(\sqrt{x}+2)}=\frac{\sqrt9+3}{2(\sqrt4+2}=\frac{6}8=\frac{3}4$

Answer 2

Давайте рассмотрим данное выражение и найдем предел, когда x стремится к 4:

$$\lim_{{x \to 4}} \frac{{\sqrt{x} - 2}}{{\sqrt{1 + 2x} - 3}}$$

Для вычисления данного предела, давайте воспользуемся методом рационализации. Умножим и числитель, и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя (корень с добавлением и вычитанием):

$$\begin{align*} \lim_{{x \to 4}} \frac{{\sqrt{x} - 2}}{{\sqrt{1 + 2x} - 3}} \cdot \frac{{\sqrt{1 + 2x} + 3}}{{\sqrt{1 + 2x} + 3}} &= \lim_{{x \to 4}} \frac{{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{1 + 2x} + 3)}}{{(1 + 2x) - 3^2}} \\ &= \lim_{{x \to 4}} \frac{{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{1 + 2x} + 3)}}{{2x - 8}} \end{align*}$$

Теперь подставим значение x = 4:

$$\frac{{(\sqrt{4} - 2)(\sqrt{1 + 2 \cdot 4} + 3)}}{{2 \cdot 4 - 8}} = \frac{{(2 - 2)(\sqrt{9} + 3)}}{{8 - 8}} = \frac{{0 \cdot 6}}{{0}} = 0$$

Таким образом, предел данной функции при x, стремящемся к 4, равен 0.