Question

Обычно Иван Иванович в одно и тоже время выходил из дома на работу, а с работы за ним в одно и тоже(но возможно, другое) время навстречу выезжала машина, которая встречала его на дороге, разворачивалась и везла на работу. Однажды он вышел из дому на 51 минуту раньше, а машина выехала как обычно,в результате чего он приехал на работу на 6 минут раньше. Во сколько раз скорость машины больше, чем скорость Иван Ивановича?

Answer 1

Решение:
За 6 минут машина проходит путь, равный двойному расстоянию до места встречи с Иван Ивановичем, значит путь от встречи с Иван Ивановичем до встречи с машиной  проходит за 3мин (6мин:2). На месте встречи машина была  за 3 мин до времени обычной встречи с Иван Ивановичем, значит путь от дома до места встречи с машиной Иван Иванович шёл: 51мин-3мин=48мин.
Следовательно скорость Иван Ивановича в 48:3=16 раз меньше скорости автомобиля.

Ответ: Скорость автомобиля в 16 раз больше скорости Иван Ивановича.

Answer 2

Машина, которая выезжала всегда в ОДНО и ТОЖЕ время, доехала до нового места встречи и вернулась на работу за 6 мин, значит до того места где обычно она забирала Ивана Ивановича она ехала бы: 6÷2=3 минуты. Т.к Иван Иванович вышел на 51 минуту раньше ОБЫЧНОГО ВРЕМЕНИ, то он находился в пути 51-3=48 минут. Следовательно если машина была в пути 3 минуты, а Иван Иванович 48 мин, то : 48÷3=16 (раз). Т.е в16 раз скорость автомобиля больше скорости Ивана Ивановича.
Ответ: в 16 раз.

Answer 3

Давайте обозначим следующие величины:

• Пусть $t$ - обычное время выхода Ивана Ивановича из дома на работу и приезда машины к нему.
• Пусть $v_i$ - скорость Ивана Ивановича, то есть скорость, с которой он идет на работу.
• Пусть $v_m$ - скорость машины.

В обычной ситуации Иван Иванович и машина встречаются на дороге и едут вместе на работу. Время, которое им требуется, чтобы доехать на работу, равно: $t_{\text{обычное}} = \frac{d}{v_i + v_m},$ где $d$ - расстояние от дома до работы.

В ситуации, когда Иван Иванович вышел на 51 минуту раньше, его время в пути на работу составит: $t_{\text{новое}} = \frac{d}{v_i}.$

Из условия задачи известно, что время пути в новой ситуации стало на 6 минут раньше обычного: $t_{\text{новое}} = t_{\text{обычное}} - 6.$

Теперь подставим значения $t_{\text{обычное}}$ и $t_{\text{новое}}$ и решим уравнение: $\frac{d}{v_i} = \frac{d}{v_i + v_m} - 6.$

Для простоты решения допустим, что расстояние $d$ равно 1 (так как оно не влияет на отношение скоростей). Тогда уравнение примет вид: $\frac{1}{v_i} = \frac{1}{v_i + v_m} - 6.$

Решим уравнение относительно $v_m$: $\frac{1}{v_i} = \frac{v_i + v_m - v_i}{v_i(v_i + v_m)}.$

Упростим выражение: $1 = \frac{v_m}{v_i(v_i + v_m)}.$

Теперь выразим $v_m$ через $v_i$: $v_m = v_i(v_i + v_m).$

Раскроем скобки: $v_m = v_i^2 + v_i v_m.$

Перенесем $v_m$ влево: $v_m - v_i v_m = v_i^2.$

Факторизуем $v_m$ слева: $v_m(1 - v_i) = v_i^2.$

Выразим $v_m$: $v_m = \frac{v_i^2}{1 - v_i}.$

Теперь можем найти отношение скоростей машины и Ивана Ивановича: $\frac{v_m}{v_i} = \frac{\frac{v_i^2}{1 - v_i}}{v_i} = \frac{v_i}{1 - v_i}.$