Question

Доказать, что а)число 2^333+3^222 делится на 17; б) число 2^222+3^333 делится на 31. Помогите пожалуйста. Срочно нужно

Answer 1

Что ета 2 333?? пж напиши нормальна я розвяжу отвечаю!!!

Answer 2

Для доказательства деления чисел на заданные числа, воспользуемся малой теоремой Ферма.

Малая теорема Ферма утверждает, что если p - простое число, а a - целое число, не делящееся на p, то a^(p-1) ≡ 1 (mod p). Здесь ≡ обозначает сравнение по модулю.

а) Докажем, что 2^333 + 3^222 делится на 17. Заметим, что 17 - простое число и 2 не делится на 17 и 3 не делится на 17.

Теперь применим малую теорему Ферма: 2^(17-1) ≡ 1 (mod 17) 2^16 ≡ 1 (mod 17)

3^(17-1) ≡ 1 (mod 17) 3^16 ≡ 1 (mod 17)

Теперь разделим степени на 16: 333 = 20 * 16 + 13 222 = 13 * 16 + 14

Таким образом: 2^333 ≡ 2^(2016+13) ≡ (2^16)^20 * 2^13 ≡ 1^20 * 2^13 ≡ 2^13 (mod 17) 3^222 ≡ 3^(1316+14) ≡ (3^16)^13 * 3^14 ≡ 1^13 * 3^14 ≡ 3^14 (mod 17)

Теперь вычислим значения 2^13 (mod 17) и 3^14 (mod 17): 2^13 ≡ 8192 ≡ 12 (mod 17) 3^14 ≡ 4782969 ≡ 4 (mod 17)

Теперь сложим эти значения: 2^333 + 3^222 ≡ 12 + 4 ≡ 16 (mod 17)

Так как получили сравнение по модулю 17, равное 16, значит, число 2^333 + 3^222 делится на 17.

б) Докажем, что 2^222 + 3^333 делится на 31. Заметим, что 31 - простое число и 2 не делится на 31 и 3 не делится на 31.

Применим малую теорему Ферма: 2^(31-1) ≡ 1 (mod 31) 2^30 ≡ 1 (mod 31)

3^(31-1) ≡ 1 (mod 31) 3^30 ≡ 1 (mod 31)

Теперь разделим степени на 30: 222 = 7 * 30 + 12 333 = 11 * 30 + 3

Таким образом: 2^222 ≡ 2^(730+12) ≡ (2^30)^7 * 2^12 ≡ 1^7 * 2^12 ≡ 2^12 (mod 31) 3^333 ≡ 3^(1130+3) ≡ (3^30)^11 * 3^3 ≡ 1^11 * 3^3 ≡ 3^3 (mod 31)

Теперь вычислим значения 2^12 (mod 31) и 3^3 (mod 31): 2^12 ≡ 4096 ≡ 10 (mod 31) 3^3 ≡ 27 (mod 31)

Теперь сложим эти значения: 2^222 + 3^333 ≡ 10 + 27 ≡ 37 ≡ 6 (mod 31)

Так как получили сравнение по модулю 31, равное 6, значит, число 2^222 + 3^333 делится на 31.

Таким образом, оба утверждения подтверждаются, и оба числа делятся на заданные числа.