Question

Как найти модуль комплексного числа. z=3i^13+2i^22+5i^27+8 формула |z|=sqrt(x^2+y^2) правильный ответ 2sqrt(10) но как он получается? что делать с большими степенями.

Answer 1

Как найти модуль комплексного числа. z=3i¹³+2i²²+5i²⁷+8
формула |z|=sqrt(x²+y²)
правильный ответ 2sqrt(10)
но как он получается? что делать с большими степенями.

Решение.
Для начала возведем в степень мнимую единицу i (i² =-1)

i¹³ = i*i¹² = i*(i²)⁶ = i*(-1)⁶= i
i²² = (i²)¹¹ = (-1)¹¹ = -1
i²⁷ = i*i²⁶ = i*(i²)¹³ = i*(-1)¹³ = -i

Подставляем полученные выражения в исходное комплексное число

z = 3i¹³ + 2i²² + 5i²⁷+ 8 = 3i - 2 - 5i + 8 = 8 - 2 + 3i - 5i = 6 - 2i

Определим модуль комплексного числа
(для комплексного числа z = x + y*i  модуль можно определить по формуле
                        $|z| = \sqrt{x^2 +y^2}$
В нашем случае z = 6 - 2i
                             x = 6, y =-2

$|z| = \sqrt{x^2+ y^2} = \sqrt{6^2+(-2)^2}= \sqrt{36+4}= \sqrt{40}=\sqrt{4*10}=2 \sqrt{10}$

Answer 2

Для нахождения модуля комплексного числа нужно найти его абсолютное значение или расстояние от начала координат до соответствующей точки на комплексной плоскости. В общем случае, модуль комплексного числа z = x + yi вычисляется следующим образом:

|z| = √(x^2 + y^2)

где x - действительная часть комплексного числа, y - мнимая часть комплексного числа.

Теперь давайте посмотрим на ваше комплексное число z:

z = 3i^13 + 2i^22 + 5i^27 + 8

Чтобы вычислить модуль z, нужно представить каждую степень i в терминах его действительной и мнимой частей. Начнем с этого:

i^1 = i i^2 = -1 i^3 = i * i^2 = -i i^4 = (i^2)^2 = 1 i^5 = i * i^4 = i ...

Таким образом, степени i повторяются каждые 4 шага. Теперь найдем каждое из ваших слагаемых с использованием этого циклического повторения:

1. 3i^13: i^13 = i^(4*3 + 1) = i * i^12 = i * (i^4)^3 = i * 1^3 = i Поэтому 3i^13 = 3i

2. 2i^22: i^22 = i^(45 + 2) = i^2 = -1 Поэтому 2i^22 = 2(-1) = -2

3. 5i^27: i^27 = i^(46 + 3) = i^3 = -i Поэтому 5i^27 = 5(-i) = -5i

Теперь объединим все слагаемые:

z = 3i - 2 - 5i + 8

Чтобы найти модуль z, сложим все действительные и мнимые части и возьмем абсолютное значение:

|z| = |3i - 2 - 5i + 8| = |6 - 2i|

Теперь используем формулу для модуля комплексного числа:

|z| = √(Re(z)^2 + Im(z)^2) = √(6^2 + (-2)^2) = √(36 + 4) = √40 = 2√10

Таким образом, правильный ответ для модуля комплексного числа z = 3i^13 + 2i^22 + 5i^27 + 8 равен 2√10.