Question

Из группы состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, надо выбрать 6 человек так, чтобы среди них было не менее двух женщин. Сколькими способами это можно сделать?

Answer 1

1) Если выберут 2 женщин и 4 мужчин.
2 женщин из 4 можно выбрать C(2,4)=4*3/2=6 способами.
4 мужчин из 7 можно выбрать C(4,7)=7*6*5*4/(1*2*3*4)=35 способами.
Получается 6*35=210 способов.
2) Если выберут 3 женщин и 3 мужчин.
3 женщины из 4 это C(3,4)=4 способа.
3 мужчины из 7 это C(3,7)=7*6*5/(1*2*3)=35 способов.
Получается 35*4=140 способов.
3) Если выберут 4 женщин и 2 мужчин.
4 женщины из 4 это 1 способ.
2 мужчины из 7 это C(2,7)=7*6/2=21 способ.
Получается 1*21=21 способ.
Всего 210+140+21=371 способ.
Посчитано в уме, без калькулятора!

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать комбинаторику. Найдем общее количество способов выбрать 6 человек из 11 (7 мужчин и 4 женщин) и вычтем из этого числа количество способов выбрать 6 человек так, чтобы среди них не было ни одной женщины и только одна женщина. Таким образом, получим количество способов выбрать 6 человек так, чтобы среди них было не менее двух женщин.

1. Количество способов выбрать 6 человек из 11 без ограничений: C(11, 6) = 11! / (6! * (11-6)!) = 462.

2. Количество способов выбрать 6 человек так, чтобы среди них не было ни одной женщины (только мужчины): C(7, 6) = 7! / (6! * (7-6)!) = 7.

3. Количество способов выбрать 6 человек так, чтобы среди них была только одна женщина (остальные 5 - мужчины): C(4, 1) * C(7, 5) = 4! / (1! * (4-1)!) * 7! / (5! * (7-5)!) = 4 * 21 = 84.

Теперь вычтем из общего количества способов (пункт 1) количество способов с одной женщиной (пункт 3) и без женщин (пункт 2):

462 - 84 - 7 = 371.

Таким образом, существует 371 способ выбрать 6 человек из данной группы так, чтобы среди них было не менее двух женщин.