Question

Указать матрицу,которая, умноженная сама на себя,даёт противоположную единичной,то есть [-1 0] [0 -1].

Answer 1

Обозначим элементы матрицы буквами.
(a b)*(a b)=(-1 0)
(c d)*(c d)=(0 -1)
Получили систему
a^2+bc=-1
ab+bd=b(a+d)=0
ac+cd=c(a+d)=0
bc+d^2=-1
Варианты b=0 и d=0 не подходят, будет a^2=-1 и d^2=-1.
Значит, a+d=0; d=-a
bc+a^2=bc+d^2=-1
Одно уравнение с 3 неизвестными, вариантов бесконечно.
Например, b=-5; c=2; a=3; d=-3
Ответ:
(3 -5)
(2 -3)

Answer 2

Для матрицы, которая, умноженная сама на себя, даёт противоположную единичной, то есть:

$M \cdot M = -I$

где $M$ - матрица, $I$ - единичная матрица.

Такая матрица $M$ называется "анти-эрмитовой" матрицей или "анти-симметричной" матрицей.

Если рассматривать матрицу размером $2 \times 2$, то возможны два варианта:

1. $M = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

2. $M = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$

Обе матрицы удовлетворяют условию $M \cdot M = -I$.