Question

Докажите неравенство 1)а^2+2b^2+2ab+2b+2>0 2) 2a^2+b^2+c^2>или=2a(b+c) 3)Известно, что m^2+n^2=1 Докажите неравенства: 1)m+n<или=√2 √m+√n> или = 1 прошу вас помогите

Answer 1

1) а²+б²+б²+2аб+2б+2=(а+б)²+б²+2б+1+1=(а+б)²+(б+1)²+1
так как первые два неотр, а единица положительна, то все выражение положительно.
2)а²+а²+б²+с²+2ас-2ас+2аб-2аб=(а-б)²+(а-с)²+2ас+2аб=(а-б)²+(а-с)²+2а(б+с)
первое и второе- неотр
а третье равно выражению из изначального неравенства, следовательно, все выражение больше или равно
3)Если решу, то допишу в комментариях

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое неравенство по отдельности:

1. Докажем неравенство $a^2 + 2b^2 + 2ab + 2b + 2 > 0$:

Начнем с полного квадрата: $a^2 + 2b^2 + 2ab + 2b + 1 > 1$ $(a + b)^2 + 2(b + 1) > 1$

Так как квадрат числа неотрицательный, то $(a + b)^2 \geq 0$, и $2(b + 1)$ также является неотрицательным, так как $b$ может быть любым числом, а прибавление положительной константы ($2$) не меняет знак. Таким образом, всё выражение больше $0$.

2. Докажем неравенство $2a^2 + b^2 + c^2 \geq 2a(b + c)$:

Мы можем начать с выражения правой стороны: $2a(b + c) = 2ab + 2ac$

Добавим и вычтем $a^2$ на правой стороне: $2ab + 2ac = a^2 + ab + 2ab + 2ac - a^2 = a(a + b) + 2a(b + c) - a^2$

Теперь мы можем заметить, что $a(a + b) \leq \frac{1}{2}(a^2 + b^2)$ по неравенству между средним арифметическим и средним квадратичным. Итак: $a(a + b) \leq \frac{1}{2}(a^2 + b^2)$ $2a(b + c) - a^2 \leq \frac{1}{2}(2a(b + c) - a^2 + b^2)$

Теперь остается доказать, что: $\frac{1}{2}(2a(b + c) - a^2 + b^2) \leq 2a^2 + b^2 + c^2$

Упростим левую сторону: $\frac{1}{2}(2a(b + c) - a^2 + b^2) = ab + ac - \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 = ab + ac - a^2 + \frac{1}{2}b^2$

Теперь добавим и вычтем $2ab$ на левой стороне: $ab + ac - a^2 + \frac{1}{2}b^2 = 2ab + 2ac - 3a^2 + \frac{1}{2}b^2 - ab$

Мы можем заметить, что $2ab + 2ac \leq b^2 + 2a^2 + c^2$ по неравенству между средним арифметическим и средним квадратичным. Таким образом: $2ab + 2ac - 3a^2 + \frac{1}{2}b^2 - ab \leq b^2 + 2a^2 + c^2 - 3a^2 + \frac{1}{2}b^2$