Question

Как убедить, что arctga+arcctga=π/2

Answer 1

Скажи зуб даю и тогда точно поверят

Answer 2

Чтобы доказать, что arctg(a) + arcctg(a) = π/2, мы можем использовать геометрическую интерпретацию идентичности.

Давайте предположим, что у нас есть треугольник ABC, где угол A = arctg(a) и угол C = arcctg(a). Обратите внимание, что arctg(x) обозначает арктангенс (или тангенс обратный) функции, которая возвращает угол, у которого тангенс равен x. Аналогично, arcctg(x) обозначает арккотангенс (или котангенс обратный) функции, которая возвращает угол, у которого котангенс равен x.

Таким образом, в нашем предположении, у нас есть треугольник ABC с углами A = arctg(a) и C = arcctg(a). Пусть угол B обозначает третий угол треугольника. Так как сумма углов треугольника равна 180°, мы можем записать:

A + B + C = 180°

arctg(a) + B + arcctg(a) = 180°

Теперь давайте рассмотрим значения тангенса и котангенса для углов A и C:

Тангенс угла A = a Котангенс угла C = a

Таким образом, мы можем переписать равенство:

arctg(a) + B + arcctg(a) = 180°

Как B и arcctg(a) обозначают углы, их тангенсы суммируются до 180°, что означает, что:

B + arcctg(a) = 90°

Теперь обратите внимание, что угол, равный arcctg(a), также является углом, у которого котангенс равен a. То есть, это угол C в нашем треугольнике ABC. Таким образом, мы можем переписать равенство:

B + C = 90°

Так как сумма углов B и C равна 90°, это означает, что угол B является прямым углом (90°).

Таким образом, мы доказали, что arctg(a) + arcctg(a) = π/2, потому что эти два угла образуют прямой угол в треугольнике ABC.