Question

Вася и Петя выписывают 12-значное число, ставя цифры по очереди, начиная со старшего разряда. Докажите, что какие 6ы цифры он не писал, Петя всегда сможет добиться, чтобы получившееся число делилось на 4.

Answer 1

Натуральное число делится без остатка на 4, если сумма предпоследней цифры в его записи и половины последней цифры — четное число
например:
121110987654321
последние цифры 2 и 1. признак делимости на 4:
1+половина 2=1+1=2 четное число... значит 121110987654321 делится на 4 без остатка

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, давайте рассмотрим свойства делимости на 4.

Число делится на 4, если последние две цифры этого числа составляют число, которое делится на 4. То есть, если две последние цифры числа образуют 4, 8, 12, 16, 20 и т.д., то оно делится на 4.

Теперь предположим, что Вася и Петя выписывают 12-значное число, и Петя выбирает 6 цифр из них. Обозначим эти 6 цифр как A1A2A3A4A5A6, а оставшиеся 6 цифр, которые выписывает Вася, как B1B2B3B4B5B6.

Так как Петя может выбрать любые 6 цифр, то он может выбрать их таким образом, чтобы сумма A1A2A3A4 и B1B2B3B4 была кратна 4. Это будет выполняться всегда, так как существует ровно 25 комбинаций двухзначных чисел (00, 04, 08, ..., 96), которые кратны 4. Поскольку сумма A1A2A3A4 и B1B2B3B4 должна быть кратна 4, то она также может быть представлена в виде 4n, где n - целое число.

Аналогично, Петя может выбрать 6 цифр A7A8A9A10A11A12 таким образом, чтобы сумма A7A8A9A10 и B7B8B9B10 была кратна 4. Таким образом, эта сумма также может быть представлена в виде 4m, где m - целое число.

Теперь, когда Петя составил две суммы A1A2A3A4 + B1B2B3B4 = 4n и A7A8A9A10 + B7B8B9B10 = 4m, он может рассмотреть оставшиеся 2 цифры A5 и A6 и выбрать их так, чтобы их сумма с предыдущими суммами (A1A2A3A4 и A7A8A9A10) также была кратна 4.

Таким образом, Петя всегда сможет добиться того, чтобы получившееся число (A1A2A3A4A5A6 + B1B2B3B4B5B6 + A7A8A9A10A11A12) делилось на 4, так как он может выбрать цифры так, чтобы обеспечить кратность 4 для всех трех сумм.