Question

Вася и Петя выписывают 12-значное число, ставя цифры по очереди, начиная со старшего разряда. Докажите, что какие 6ы цифры он не писал, Петя всегда сможет добиться, чтобы получившееся число делилось на 4.Помогите,пожалуйстаааа

Answer 1

Решая данную задачу, необходимо вспомнить правило признаков делимости. Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9. Само число 12 значное, то есть имеет четное количество цифр, поэтому нетрудно посчитать, что последнюю цифру будет писать Петя. И естественно, последняя цифра должна быть той, которая в сумме всех двенадцати цифр числа будет делиться на 9. Какую бы цифру не писал Вася, Петя сможет посчитать сумму цифр и последнюю цифру поставить такую, которая даст сумму чисел кратную 9.          
 Думаю, что так, может и ошибаюсь.

Answer 2

Чтобы число делилось на 4, необходимо, чтобы последние две цифры этого числа были кратны 4. Учитывая, что Вася и Петя поочередно записывают цифры числа, можно заметить, что последние две цифры зависят только от Пети.

Рассмотрим возможные случаи: 1. Петя записал две цифры кратные 4 (например, 12). Тогда не важно, какие цифры впереди записывал Вася, получившееся число уже будет кратным 4. 2. Петя записал одну цифру, а после неё - цифру не кратную 4 (например, 15). Тогда Вася имеет выбор: записать цифру кратную 4 или записать цифру не кратную 4. Если Вася запишет цифру кратную 4 (например, 40), то получившееся число уже будет кратным 4. Если же Вася запишет цифру не кратную 4 (например, 43), то Петя может дописать две цифры, чтобы получившееся число стало кратным 4. В этом случае есть несколько вариантов: - Петя дописывает 00 - число становится кратным 4 (4300). - Петя дописывает 44 - число становится кратным 4 (4344). - Петя дописывает любую комбинацию цифр, в которой две цифры кратны 4 (например, 4304 или 4312 или 4328 и т.д.), и число становится кратным 4.

3. Петя записал одну цифру, а после неё - цифру кратную 4 (например, 14). В этом случае, чтобы число стало кратным 4, Вася может заполнить оставшиеся цифры любыми цифрами (необязательно кратными 4), потому что число, оканчивающееся на 4, уже кратно 4.

Таким образом, независимо от того, какие 6 цифр не записывал Вася, Петя всегда может выбрать такие две цифры, что число, получившееся после добавления этих двух цифр в конец числа, будет кратным 4.