Question

Найди сумму первых шести членов геометрической прогрессии ,если b2=4 , b4=1

Answer 1

$b_2=4\; ,\; \; b_4=1\\\\b_2=b_1q=4\; ,\; \; b_4=b_1q^3=1\\\\ \frac{b_4}{b_1}=\frac{b_1q^3}{b_1q}=q^2=\frac{1}{4}\; \; \to \; \; q=\pm \frac{1}{2}\\\\b_1= \frac{b_2}{q}=\frac{4}{\pm 1/2}=\pm 8\\\\a)\; \; b_1=8\; ,\; \; q=\frac{1}{2}\\\\S_6=\frac{b_1\cdot (q^6-1)}{q-1}=\frac{8\cdot (\frac{1}{64}-1)}{\frac{1}{2}-1}=\frac{8\cdot (-\frac{63}{64})}{-\frac{1}{2}}=\frac{63\cdot 2}{8}=\frac{63}{4}=15,75\\\\b)\; \; b_1=-8\; ,\; \; q=-\frac{1}{2}\\\\S_6=\frac{-8\cdot (\frac{1}{64}-1)}{-\frac{1}{2}-1}=\frac{-8\cdot (-\frac{63}{64})}{-3/2}=-\frac{8\cdot 63\cdot 2}{64\cdot 3}=-\frac{63}{12}=-5,25$

Answer 2

Для геометрической прогрессии (ГП) с общим членом b_n и первым членом b_1, сумма первых n членов S_n может быть вычислена следующим образом:

S_n = b_1 * (1 - r^n) / (1 - r),

где r - это знаменатель прогрессии (отношение между последовательными членами).

Для данной задачи, у нас есть b_2 = 4 и b_4 = 1.

Мы знаем, что в геометрической прогрессии соотношение между последовательными членами можно выразить как:

b_n = b_1 * r^(n-1).

Таким образом, используя данную информацию:

b_2 = b_1 * r^(2-1) = b_1 * r, b_4 = b_1 * r^(4-1) = b_1 * r^3.

Мы имеем следующую систему уравнений:

b_1 * r = 4, ............ (1) b_1 * r^3 = 1. ............ (2)

Теперь мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения b_1 и r:

Из уравнения (1) мы можем выразить b_1 через r: b_1 = 4 / r.

Подставим это значение b_1 в уравнение (2):

(4 / r) * r^3 = 1, 4 * r^2 = 1, r^2 = 1 / 4, r = ±sqrt(1 / 4) = ±1/2.

Теперь у нас есть два возможных значения r: r = 1/2 и r = -1/2.

a) Когда r = 1/2:

Из уравнения (1), b_1 = 4 / (1/2) = 8.

Теперь мы можем найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии:

S_6 = b_1 * (1 - r^6) / (1 - r) = 8 * (1 - (1/2)^6) / (1 - 1/2) = 8 * (1 - 1/64) / (1/2) = 8 * (63/64) / (1/2) = 8 * (63/64) * 2 = 8 * 63 = 504.

б) Когда r = -1/2:

Из уравнения (1), b_1 = 4 / (-1/2) = -8.

Теперь мы можем найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии:

S_6 = b_1 * (1 - r^6) / (1 - r) = -8 * (1 - (-1/2)^6) / (1 - (-1/2)) = -8 * (1 - 1/64) / (3/2) = -8 * (63/64) * (2/3) = -8 * 21 = -168.

Итак, сумма первых шести членов геометрической прогрессии может быть либо 504 (если r = 1/2), либо -168 (если r = -1/2).