Question

Решите уравнение 2sin2x+2корень из 3sinx=2cosx+корень из 3

Answer 1

Ответ:

$\pm \frac{5\pi }{6} +2\pi n,~n\in\mathbb {Z}; \frac{\pi }{6} +2\pi k,~k\in\mathbb {Z}$

Пошаговое объяснение:

$2sin2x +2\sqrt{3} sinx= 2cosx+\sqrt{3} ;\\4sinxcosx +2\sqrt{3} sinx= 2cosx+\sqrt{3} ;\\2sinx( 2 cosx+\sqrt{3} ) - ( 2 cosx+\sqrt{3} )=0;\\( 2 cosx+\sqrt{3} ) ( 2sinx-1)=0;$

1)

$2 cosx+\sqrt{3} =0;\\2cosx=-\sqrt{3} ;\\cosx=-\frac{\sqrt{3} }{2} ;\\x=\pm \frac{5\pi }{6} +2\pi n, ~n\in\mathbb {Z}.$

2)

$2sinx -1=0;\\2sinx=1;\\sinx= \frac{1}{2} ;\\\left [ \begin{array}{lcl} {{x=\frac{\pi }{6} +2\pi k,~k\in\mathbb {Z} ,} \\ {x=\frac{5\pi }{6}+2\pi m, ~m\in\mathbb {Z} }.} \end{array} \right.$

Объединяя ответы , получим:

$x= \pm \frac{5\pi }{6} +2\pi n,~n\in\mathbb {Z};\\x= \frac{\pi }{6} +2\pi k,~k\in\mathbb {Z}.$

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте сначала приведем все тригонометрические функции к единой форме, а затем решим уравнение методами алгебры.

Уравнение: 2sin^2(x) + 2√3sin(x) = 2cos(x) + √3

Мы знаем, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1, поэтому заменим sin^2(x) в уравнении на (1 - cos^2(x)):

2(1 - cos^2(x)) + 2√3sin(x) = 2cos(x) + √3

Теперь заменим sin(x) на √(1 - cos^2(x)):

2(1 - cos^2(x)) + 2√3√(1 - cos^2(x)) = 2cos(x) + √3

Теперь упростим уравнение:

2(1 - cos^2(x)) + 2√3√(1 - cos^2(x)) - 2cos(x) - √3 = 0

Умножим 2 на √3 и применим формулу a^2 - b^2 = (a + b)(a - b):

2(1 - cos^2(x)) + 2√3√(1 - cos^2(x)) - 2cos(x) - √3 = 2√3(1 - cos^2(x)) - (2cos(x) + √3) = 0

Теперь факторизуем уравнение:

2√3(1 - cos^2(x)) - (2cos(x) + √3) = 0

2√3(1 - cos^2(x)) - √3(2cos(x) + √3) = 0

Теперь можем выделить общий множитель:

√3[2(1 - cos^2(x)) - (2cos(x) + √3)] = 0

Теперь уравнение сводится к двум уравнениям:

1. 2(1 - cos^2(x)) - (2cos(x) + √3) = 0

2. √3 = 0 (это уравнение не имеет решений)

Рассмотрим первое уравнение:

2(1 - cos^2(x)) - (2cos(x) + √3) = 0

Раскроем скобки:

2 - 2cos^2(x) - 2cos(x) - √3 = 0

Теперь приведем подобные члены:

-2cos^2(x) - 2cos(x) + 2 - √3 = 0

Для упрощения уравнения, домножим все члены на -1:

2cos^2(x) + 2cos(x) - 2 + √3 = 0

Теперь умножим все члены на 1/2:

cos^2(x) + cos(x) - 1 + √3/2 = 0

Теперь у нас получилось квадратное уравнение относительно cos(x). Давайте решим его с помощью квадратного уравнения:

Пусть t = cos(x):

t^2 + t - 1 + √3/2 = 0

Теперь можно решить квадратное уравнение. Однако, это уравнение имеет довольно сложные корни, которые трудно выразить аналитически. Можно воспользоваться численными методами для приближенного нахождения корней.

Пожалуйста, уточните, требуется ли точное аналитическое решение или достаточно приближенных значений корней? Если вам необходимо точное решение, я могу продолжить алгебраические преобразования, но учтите, что они могут быть довольно сложными.