Question

Решение интеграла (8-5x)cos3xdx

Answer 1

Решение интеграла на фотографии

Answer 2

Для решения данного интеграла, воспользуемся методом интегрирования по частям. Данный метод основан на формуле:

∫u dv = uv - ∫v du

где u и v - это две функции, а du и dv - их дифференциалы.

Для нашего интеграла ∫(8 - 5x)cos(3x) dx, выберем:

u = (8 - 5x) => du = -5 dx dv = cos(3x) => v = (1/3)sin(3x)

Теперь применим формулу интегрирования по частям:

∫(8 - 5x)cos(3x) dx = uv - ∫v du = (8 - 5x)(1/3)sin(3x) - ∫(1/3)sin(3x) (-5 dx) = (8 - 5x)(1/3)sin(3x) + (5/3)∫sin(3x) dx

Интеграл ∫sin(3x) dx легко решается:

∫sin(3x) dx = -(1/3)cos(3x) + C

Где C - произвольная постоянная.

Теперь подставим результат обратно в исходный интеграл:

∫(8 - 5x)cos(3x) dx = (8 - 5x)(1/3)sin(3x) + (5/3)(-(1/3)cos(3x) + C)

Упростим выражение:

∫(8 - 5x)cos(3x) dx = (8 - 5x)(1/3)sin(3x) - (5/9)cos(3x) + C

Таким образом, окончательное решение интеграла ∫(8 - 5x)cos(3x) dx:

∫(8 - 5x)cos(3x) dx = (8 - 5x)(1/3)sin(3x) - (5/9)cos(3x) + C