Question

Даю 90 баллов! В правильной треугольной пирамиде SABC (S – вершина, SA = 2 ) точка D – середина ребра SB. Расстояние от точки С до прямой AD равно \sqrt{\frac{5}{6}} Найти объём пирамиды.

Answer 1

Аналитическое решение данной задачи довольно громоздкое.
Предлагается решение с применением итерационного метода, отталкиваясь от заданной длины бокового ребра и задаваясь значениями длины стороны основания.

Дано:  - правильная пирамида SABC,
            - боковое ребро L = 2,
            - расстояние от точки С до прямой AD (это медиана боковой                        грани) = √(5/6) ≈  0,912871.

Этим данным соответствует  сторона основания   а = 1 и  угол наклона боковой грани к основанию α =   81,426895° =  1,421167 радиан.
Высота пирамиды Н = A*tg α =   1,914854. 
Апофема А = √(L² - (a/2)²) = 1,936492.
Высота основания h = a√3/2 = 0,866025.
Периметр основания Р = 3a = 3.
Проекция апофемы на основание h/3 = 0,288675.
Площадь основания Sо = a²√3/4 = 0,433013.
Площадь боковой поверхности Sбок = (1/2)PA = 2,904738.
Площадь полной поверхности S =Sо + Sбок =  3,33775.
Объём пирамиды  V = (1/3) So*H =  0,276385.      

  Аналитическое решение.
Здесь основное - определить значение стороны основания пирамиды.
Примем сторону основания за "а", а боковое ребро " L".
Косинус угла при основании боковой грани равен: cos α = (a/2)/L = a/(2L).
Медиана АД боковой грани по теореме косинусов равна: 
АД = √(a²+(L/2)²-2*a*(L/2)*cos α) = √(a²+(L²/4)-2a*(L/2)*(a/2L)) = √((2a²+L²)/2.
Рассмотрим треугольник АДС. Его высота ДЕ равна:
ДЕ = √(АД²-(а/2)²) = √((2a²-L²)/4)-(а²/4) = √(a²+L²)/2.
Высота h(АД) к стороне АД по заданию равна √(5/6).
Тогда а*ДЕ = h(АД)*АД или а*√(a²+L²)/2 = (√(5/6))*√((2a²+L²)/2.
Приведём к общему знаменателю и возведём обе части уравнения в квадрат.
6а²(а²+L²) = 10a² + 5L².
Заменим L² на 2² = 4.
6а⁴ + 24а² = 10а² + 20.
6а⁴ + 14а² - 20 = 0, или 3а⁴ + 7а² - 10 = 0.
Получили биквадратное уравнение. Заменим а² = t.
3t² + 7 t - 10 = 0.  D = 49 +120 = 169. t1 = (-7 + 13)/6 = 1, t2 = (-7-13)/6 = -20/6 отрицательный корень не принимаем.
Находим а = √1 = 1 см.
Остальное приведено выше.

Answer 2

Спасибо за оценку! Для решения этой задачи, нам понадобится использовать теорему Пифагора и формулу объема пирамиды.

Обозначим сторону треугольника SAB как "a" и высоту пирамиды (расстояние от вершины S до плоскости ABC) как "h".

Так как точка D является серединой ребра SB, то SD = \frac{1}{2}SA = 1.

Теперь, давайте рассмотрим прямоугольный треугольник SDC. У нас есть два катета: SD = 1 и SC. Расстояние от точки C до прямой AD равно \sqrt{\frac{5}{6}}, а это и есть высота пирамиды (h).

С использованием теоремы Пифагора, можем найти сторону SC:

SC^2 = SD^2 + DC^2 SC^2 = 1^2 + (\sqrt{\frac{5}{6}})^2 SC^2 = 1 + \frac{5}{6} SC^2 = \frac{11}{6}

Теперь найдем площадь треугольника SAB. Поскольку мы знаем сторону SA (2) и сторону SC (\sqrt{\frac{11}{6}}), можем воспользоваться формулой для площади треугольника через стороны:

Полупериметр (p) = \frac{a + b + c}{2} = \frac{2 + \sqrt{\frac{11}{6}} + 2}{2} = 2 + \frac{\sqrt{66}}{6}

Площадь треугольника SAB (A) = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{\left(2 + \frac{\sqrt{66}}{6}\right) \left(\frac{\sqrt{66}}{6}\right) \left(\frac{\sqrt{66}}{6}\right) \left(2 + \frac{\sqrt{66}}{6} - 2\right)} = \frac{\sqrt{66}}{6}

Теперь, используя формулу объема пирамиды через площадь основания (A) и высоту (h):

V = \frac{1}{3} \times A \times h = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{66}}{6} \times \sqrt{\frac{5}{6}} = \frac{\sqrt{330}}{108}

Таким образом, объём пирамиды равен \frac{\sqrt{330}}{108} кубических единиц.