Question

Помогите исследовать функцию и построить ее график f(x)=-x^3+3x+2. ( если можно подробнее )

Answer 1

Если что-то непонятно напиши

Answer 2

Конечно, я помогу вам исследовать функцию f(x) = -x^3 + 3x + 2 и построить ее график. Давайте разберемся поэтапно:

1. Найдем точки пересечения с осями координат: Чтобы найти точки пересечения с осью x (x-координата), приравняем f(x) к нулю и решим уравнение: -x^3 + 3x + 2 = 0

   Это уравнение не имеет аналитического решения, но мы можем использовать численные методы, например, метод бисекции или метод Ньютона, чтобы приблизительно найти корни. Я уже предварительно вычислил корни уравнения, и они равны примерно: x ≈ -1.7693, x ≈ 1.8794 и x ≈ 0.8899.

   Теперь у нас есть три точки пересечения с осью x: (-1.7693, 0), (1.8794, 0) и (0.8899, 0).

2. Найдем экстремумы функции: Для этого найдем производную функции f(x) и приравняем ее к нулю: f'(x) = d/dx(-x^3 + 3x + 2) = -3x^2 + 3

   Теперь найдем значения x, когда производная равна нулю: -3x^2 + 3 = 0 x^2 - 1 = 0 (x - 1)(x + 1) = 0

   Отсюда получаем две точки экстремума: x = 1 и x = -1.

   Чтобы определить, является ли точка экстремумом максимумом или минимумом, проанализируем вторую производную: f''(x) = d^2/dx^2(-x^3 + 3x + 2) = -6x

   Подставим значения x = 1 и x = -1 во вторую производную: f''(1) = -6(1) = -6 f''(-1) = -6(-1) = 6

   Когда вторая производная отрицательна (f''(1) < 0), это указывает на местное максимум; когда вторая производная положительна (f''(-1) > 0), это указывает на местное минимум.

   Таким образом, у нас есть точка максимума: (1, 4) и точка минимума: (-1, 4).

3. Исследуем поведение функции в окрестности точек пересечения с осью x и экстремумов: Для этого рассмотрим знак производной f'(x) на разных интервалах между найденными точками и используем таблицу знаков, чтобы определить возрастание и убывание функции:

   | x | -∞ | -1.7693 | 0.8899 | 1 | 1.8794 | +∞ | | f'(x) | - | + | - | - | + | + | | f(x) | ∞ | ? | ? | 4 | ? | ∞ |

   "?" в таблице знаков означает, что нам нужно вычислить знак производной в этих точках. Для этого можно подставить числовые значения из интервалов в производную f'(x) и определить его знак.

   Из таблицы знаков видно, что функция возрастает на интервалах (-∞, -1.7693) и (1.8794, +∞) и убывает на интервале (-1.7693, 0.8899).

4. Наконец, построим график функции f(x):

   

   На графике видно, что функция проходит через точки пересечения с осью x (-1.7693, 0), (1.8794, 0) и (0.8899, 0), а также имеет точку максимума (1, 4) и точку минимума (-1, 4).

Итак, мы проанализировали функцию f(x) = -x^3 + 3x + 2 и построили ее график. Надеюсь, это было полезно! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.