Question

найти площадь фигуры ограниченную графиками функций y=6x-x^2: x=0; y=9 Помогите пожалуйста с подробным расписанием интеграла.

Answer 1

Y=6x-x^2: x=0; y=9   изобразим область интегрирования - чертеж приложен.
F(x)=∫(6x-x^2)dx=6x²/2-x³/3 = 3x²-x³/3;    F(3)-F(0)=(6*9/2-9)-0=18
s=3*9-18=9

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций y = 6x - x^2, x = 0 и y = 9, нужно рассчитать определенный интеграл по заданному интервалу.

1. Сначала найдем точки пересечения графиков функций y = 6x - x^2 и y = 9: Приравняем выражения и решим уравнение: 6x - x^2 = 9

Перенесем все элементы в левую часть уравнения: x^2 - 6x + 9 = 0

Теперь решим полученное квадратное уравнение: (x - 3)(x - 3) = 0

Таким образом, у нас есть одна точка пересечения: x = 3.

2. Определение интервала интегрирования: Так как график функции y = 6x - x^2 исчезает при x = 0 (так как y = 0), а график функции y = 9 пересекает ось x в точке x = 3, интервал интегрирования будет от 0 до 3.

3. Запишем интеграл для нахождения площади фигуры: Площадь фигуры будет равна интегралу от (графика функции y = 6x - x^2) минус (графика функции y = 9) по интервалу [0, 3]:

S = ∫[0, 3] [(6x - x^2) - 9] dx

4. Рассчитаем интеграл: ∫[(6x - x^2) - 9] dx = ∫(6x - x^2 - 9) dx = ∫(6x - x^2) dx - ∫9 dx

∫(6x - x^2) dx: Для нахождения первого интеграла, используем правила интегрирования: ∫(6x - x^2) dx = 3x^2 - (x^3/3) + C1, где С1 - постоянная интегрирования.

∫9 dx: Для второго интеграла, так как мы интегрируем по переменной x, интеграл от константы будет равен этой константе, умноженной на переменную интегрирования: ∫9 dx = 9x + C2, где С2 - постоянная интегрирования.

5. Запишем общий результат: S = (3x^2 - (x^3/3)) - (9x) + C

6. Вычислим значение площади: Для нахождения значения постоянной С, используем граничные условия: S = 0 при x = 3 и S = 0 при x = 0.

Подставим x = 3: S = (3 * 3^2 - (3^3/3)) - (9 * 3) + C S = (3 * 9 - 9) - 27 + C S = 18 - 27 + C S = -9 + C

Подставим x = 0: S = (3 * 0^2 - (0^3/3)) - (9 * 0) + C S = 0 - 0 + C S = C

Теперь у нас есть значение постоянной С: S = -9 + C = C

Таким образом, площадь фигуры ограниченной графиками функций y = 6x - x^2, x = 0 и y = 9 равна S = C, где С - постоянная интегрирования, которая равна 9.

Ответ: Площадь фигуры равна 9 квадратных единиц.