Question

Найти частные производные dz/dx и dz/dy заданной функции z=arctg (y/x) помогите пожалуйста

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для нахождения частных производных dz/dx и dz/dy функции z = arctg(y/x), мы должны поочередно дифференцировать данную функцию по переменным x и y.

Давайте начнем с частной производной по x (dz/dx):

1. Найдем сначала производную функции arctg(u), где u = y/x. d(arctg(u))/du = 1/(1 + u^2).

2. Теперь заменим u обратно на (y/x). dz/dx = d(arctg(y/x))/dx = d(arctg(u))/du * du/dx = 1/(1 + (y/x)^2) * d(y/x)/dx.

Дифференцируя y/x по x, получаем: du/dx = d(y/x)/dx = (xy' - y)/x^2, где y' - это производная y по x.

Теперь заменим du/dx в dz/dx: dz/dx = 1/(1 + (y/x)^2) * (xy' - y)/x^2.

Теперь найдем частную производную по y (dz/dy):

1. Найдем сначала производную функции arctg(u), где u = y/x. d(arctg(u))/du = 1/(1 + u^2).

2. Теперь заменим u обратно на (y/x). dz/dy = d(arctg(y/x))/dy = d(arctg(u))/du * du/dy = 1/(1 + (y/x)^2) * d(y/x)/dy.

Дифференцируя y/x по y, получаем: du/dy = d(y/x)/dy = 1/x.

Теперь заменим du/dy в dz/dy: dz/dy = 1/(1 + (y/x)^2) * (1/x).

Таким образом, частные производные функции z = arctg(y/x) имеют вид:

dz/dx = (xy' - y)/(x^2 + y^2), где y' - это производная y по x. dz/dy = 1/(x^2 + y^2).