Question

Y=-x^2-3x+1; y=3x+1.требуется найти площадь, ограниченную графиками заданных функций.

Answer 1

Даны функции у=-x²-3x+1 и y=3x+1.
Находим точки пересечения графиков этих функций как границы фигуры.
-x²-3x+1 = 3x+1,
х² + 6х = 0,
х(х + 6) = 0.
Получаем 2 точки: х = 0 и х = -6.
Площадь равна интегралу:
$S= \int\limits^0_{-6} {(-x^2-3x+1-3x-1)} \, dx = \int\limits^0_{-6} {(-x^2-6x)} \, dx =36/$

Answer 2

Чтобы найти площадь, ограниченную графиками данных функций, необходимо найти точки пересечения этих функций, а затем найти определенный интеграл от разности функций между этими точками.

Давайте начнем с нахождения точек пересечения. Поскольку оба уравнения равны y, мы можем приравнять их друг другу и решить уравнение для x:

• x^2 - 3x + 1 = 3x + 1

Теперь перенесем все слагаемые в одну сторону:

• x^2 - 3x - 3x = 1 - 1

• x^2 - 6x = 0

Теперь факторизуем:

• x(x - 6) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения x: x = 0 и x = 6.

Теперь, чтобы найти соответствующие значения y, подставим эти значения x обратно в уравнения:

Для x = 0:

y = 3 * 0 + 1 y = 1

Для x = 6:

y = 3 * 6 + 1 y = 19

Таким образом, точки пересечения графиков данных функций: A(0, 1) и B(6, 19).

Теперь найдем площадь между этими двумя функциями. Мы можем найти эту площадь, вычислив определенный интеграл от разности этих функций в пределах от x = 0 до x = 6:

Площадь = ∫[0, 6] (y = 3x + 1) - (-x^2 - 3x + 1) dx

Площадь = ∫[0, 6] (4x + x^2) dx

Для вычисления интеграла, возьмем первообразную функции 4x + x^2:

Интеграл = (2x^2 + x^3/3) |[0, 6]

Теперь подставим пределы интегрирования:

Площадь = (2 * 6^2 + 6^3/3) - (2 * 0^2 + 0^3/3)

Площадь = (2 * 36 + 216/3) - (0)

Площадь = (72 + 72) - (0)

Площадь = 144 квадратных единицы.

Таким образом, площадь, ограниченная графиками данных функций, равна 144 квадратных единицы.