Question

Найти площадь фигуры ограниченную графиками функций: у=x^2−2x+1; x=2 ; y=0 (хотелось бы с разъяснениями)

Answer 1

Пошаговое объяснение:

ВІДПОВІДЬ: площа фігури обмеженої графіками дорівнює 1/3 кв.од.

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций, необходимо вычислить определенный интеграл. В данном случае, у нас есть две функции и два вертикальных ограничения.

Функции, ограничивающие фигуру:

1. y = x^2 - 2x + 1
2. y = 0 (ось x)
3. x = 2 (вертикальная линия)

Сначала давайте найдем точки пересечения графика функции y = x^2 - 2x + 1 с осями x:

Для этого приравняем y к 0 и решим уравнение: x^2 - 2x + 1 = 0

Данное квадратное уравнение имеет единственный корень: (x - 1)^2 = 0 x - 1 = 0 x = 1

Итак, график функции пересекает ось x в точке (1, 0).

Теперь у нас есть три точки, которые образуют границы фигуры: A(1, 0), B(2, 0) и C(1, 1).

Чтобы найти площадь фигуры между графиками функций и вертикальной линией, мы можем воспользоваться определенным интегралом:

$S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx$

где:

• $f(x) = x^2 - 2x + 1$ (верхняя функция)
• $g(x) = 0$ (нижняя функция, ось x)
• $a = 1$ (левая граница фигуры)
• $b = 2$ (правая граница фигуры)

Подставляем значения в интеграл:

$S = \int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 1 - 0) \, dx$

$S = \int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 1) \, dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + x \right]_{1}^{2}$

$S = \left( \frac{2^3}{3} - 2^2 + 2 \right) - \left( \frac{1^3}{3} - 1^2 + 1 \right)$

$S = \frac{8}{3} - 4 + 2 - \frac{1}{3} + 1 - 1$

$S = \frac{4}{3}$

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^2 - 2x + 1$, $x = 2$ и $y = 0$, равна $\frac{4}{3}$ квадратных единиц.