Question

Ребят 2 тест по комбинаторной математики. 1.На одной из параллельных плоскостей даны 12 точек, а на другой – 7 точек. Какое максимальное число плоскостей, отличных от тех, что даны в условии, определяют эти точки? 2.Сколькими способами можно разложить пять ручек в два пенала,если одинаковые ручки и разные пеналы.С решение, спасибо.

Answer 1

1. любые три точки определяют плоскость, т.к. максимальное количество, то будем считать, что какие бы две тройки точек мы не взяли, в которых хотя бы одна точка отличается, то они образуют разные плоскости

мы можем брать две точки из 12 и одну из 7, либо наоборот

итого плоскостей:

$C_{12}^2*C_7^1+C_{12}^1*C_7^2= \frac{11*12}{2} *7+ \frac{6*7}{2} *12=66*7+21*12=\\=462+252=714$

Ответ: 714

2.
мы можем положить 0 и 5 ручек
1 и 4
2 и 3
3 и 2
4 и 1
5 и 0
итого 6 способов

Answer 2

1. Чтобы определить максимальное число плоскостей, отличных от тех, что даны в условии, определяющих эти точки, мы можем использовать теорию комбинаторики, точнее формулу для нахождения числа плоскостей, определяемых n точками в пространстве. Эта формула известна как формула Эйлера для полиэдров:

F + V = E + 2,

где: F - количество граней (плоскостей), V - количество вершин (точек), E - количество ребер.

У нас есть две параллельные плоскости: одна с 12 точками и другая с 7 точками.

1. Для первой плоскости с 12 точками:

• V1 (количество вершин) = 12
• E1 (количество ребер) = 0 (так как это плоскость)
• F1 (количество граней) = ?

Используем формулу Эйлера: F1 + 12 = 0 + 2, F1 = 2 - 12, F1 = -10.

Здесь нам важно заметить, что отрицательное количество граней не имеет смысла в данном контексте. Вероятно, возникла ошибка в условии задачи, так как не может быть отрицательного числа плоскостей.

2. Для второй плоскости с 7 точками:

• V2 (количество вершин) = 7
• E2 (количество ребер) = 0 (так как это плоскость)
• F2 (количество граней) = ?

Используем формулу Эйлера: F2 + 7 = 0 + 2, F2 = 2 - 7, F2 = -5.

Как и в предыдущем случае, отрицательное количество граней не имеет смысла.

Возможно, были допущены ошибки в условии задачи. Если данное количество точек в плоскостях верно, то количество дополнительных плоскостей будет зависеть от взаимного расположения точек на параллельных плоскостях. Пожалуйста, проверьте условие задачи и уточните, если необходимо.

2. Теперь рассмотрим вторую задачу о разложении пяти ручек в два пенала, учитывая, что ручки одинаковые, а пеналы разные.

Для решения этой задачи, мы можем использовать метод комбинаторики известный как "размещение с повторениями". Мы имеем 5 ручек и 2 пенала.

Для каждой ручки, у нас есть 2 варианта: положить её в первый пенал или во второй. Поскольку размещение ручек происходит независимо, мы можем использовать принцип умножения.

Количество способов разложить 5 ручек в 2 пенала: 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2^5 = 32.

Таким образом, есть 32 различных способа разложить пять ручек в два пенала, при условии, что ручки идентичны, а пеналы различны.