Question

представить число 12 в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение куба одного из них на удвоенное второе было наибольшим

Answer 1

Пусть первое слагаемое равно а( $0 \leq a \leq 12$), тогда второе равно 12-а.
Наше выражение имеет вид 
$a^3*2(12-a)=24a^3-2a^4 \\ f'(a)=72a^2-8a^3=8a^2(9-a)$
Отсюда получаем точку максимума на отрезке [0;12] а=9.
Значит 12=9+3.

Answer 2

Для представления числа 12 в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение куба одного из них на удвоенное второе было наибольшим, мы должны разбить число 12 на два слагаемых так, чтобы одно из них было как можно больше, а второе - как можно меньше.

Пусть первое слагаемое равно "х", а второе слагаемое равно "12 - х".

Тогда произведение куба первого числа на удвоенное второе число будет:

Пусть P = x^3 * 2(12 - x).

Для того чтобы найти максимальное значение P, нужно найти максимум функции P(x) по переменной "x".

P(x) = x^3 * 2(12 - x).

Для этого найдем производную P'(x) и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

P'(x) = 3x^2 * 2(12 - x) + x^3 * (-2) = 0.

Упростим:

6x^2(12 - x) - 2x^3 = 0.

Раскроем скобки:

72x - 6x^2 - 2x^3 = 0.

Теперь найдем значения "x", которые удовлетворяют уравнению. Одно из решений: x = 4.

Чтобы убедиться, что это действительно локальный максимум, проверим знак второй производной P''(x):

P''(x) = 72 - 12x.

При x = 4, P''(4) = 72 - 12 * 4 = 72 - 48 = 24, что является положительным значением. Это означает, что при x = 4, функция имеет локальный минимум.

Таким образом, чтобы произведение куба одного числа на удвоенное второе число было наибольшим, первое слагаемое (x) должно быть равно 4, а второе слагаемое (12 - x) равно 12 - 4 = 8.

Итак, 12 можно представить в виде суммы двух неотрицательных слагаемых следующим образом:

12 = 4 + 8.

При таком разбиении произведение куба первого числа (4^3 = 64) на удвоенное второе число (2 * 8 = 16) равно 64 * 16 = 1024, что является наибольшим возможным значением.