Question

Решите пожалуйста!!!! y'- y/xlnx = xlnx y(e)=e²/2

Answer 1

Решаем однородное ДУ:

y' = y/(xlnx) 

y'/y = dx/(xlnx)

lny = ln(C*lnx)

y = C*lnx

решение будем искать в виде: y = C(x)*lnx

y' = C'(x)lnx + C(x)/x

C'(x)lnx + C(x)/x - C(x)/x = xlnx
C'(x)lnx = xlnx

C'(x) = x
C(x) = x²/2 + C₁

y = (x²/2 + C₁)lnx

y(e) = e²/2

e²/2 = (e²/2 + C₁)lne = e²/2 + C₁ => C₁ = 0

y = x²lnx/2

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, мы сначала перепишем уравнение так, чтобы все y-содержащие члены находились на одной стороне уравнения, а все x-содержащие члены на другой стороне:

y' - y/(xlnx) = xlnx

Переместим y-содержащие члены на левую сторону:

y' - y/(xlnx) + y/(xlnx) = xlnx + y/(xlnx)

Теперь объединим y' с y на левой стороне:

y' = xlnx + y/(xlnx)

Теперь у нас уравнение с разделяющимися переменными, и мы можем решить его. Для этого разделим обе стороны уравнения на (xlnx + y/(xlnx)):

y' / (xlnx + y/(xlnx)) = (xlnx + y/(xlnx)) / (xlnx + y/(xlnx))

y' / (xlnx + y/(xlnx)) = 1

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения по переменной y:

∫[y'] dy = ∫dx

∫[y'/(xlnx + y/(xlnx))] dy = ∫dx

Интегрируем левую часть:

∫[1] dy = ∫dx

y = x + C, где C - постоянная интегрирования.

Теперь нам нужно найти значение C. Используем начальное условие y(e) = e²/2:

e²/2 = e + C

C = e²/2 - e

Таким образом, окончательное решение дифференциального уравнения:

y = x + (e²/2 - e)