Question

Найди при каком натуральном значении параметра c уравнение имеет ровно два корня: x3+3x2−9x−c=0 найти с.

Answer 1

Ответ : с1= -27, с2= 27

Answer 2

Для того чтобы уравнение имело ровно два корня, оно должно быть кубическим уравнением с некоторым параметром c, а также должно быть верно, что его дискриминант равен нулю.

Для кубического уравнения вида $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ дискриминант определяется следующим образом:

$\Delta = b^2c^2 - 4ac^3 - 4b^3d - 27a^2d^2 + 18abcd.$

Если у нас есть два корня, то дискриминант $\Delta$ равен нулю.

Подставим значения из данного уравнения в формулу для $\Delta$ и приравняем к нулю:

$\Delta = (3)^2(-9) - 4(1)(-9)^3 - 4(3)^3(-c) - 27(1)^2(-c)^2 + 18(1)(3)(-9)(-c) = 0.$

Теперь решим получившееся уравнение относительно c:

$9 + 4 \cdot 9^3 - 4 \cdot 3^3 \cdot c - 27c^2 + 18 \cdot 3 \cdot 9 \cdot c = 0.$

$9 + 4 \cdot 729 - 4 \cdot 27 \cdot c - 27c^2 + 486c = 0.$

$9 + 2916 - 108c - 27c^2 + 486c = 0.$

$2925 - 27c^2 + 378c = 0.$

Теперь решим это уравнение относительно c. Для этого приведем его к квадратному виду:

$27c^2 - 378c + 2925 = 0.$

Теперь решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-378)^2 - 4 \cdot 27 \cdot 2925.$

$D = 142884 - 31500 = 111384.$

Теперь найдем два значения c:

$c = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{378 \pm \sqrt{111384}}{2 \cdot 27}.$

$c = \frac{378 \pm \sqrt{111384}}{54}.$

$c = \frac{378 \pm 2\sqrt{27846}}{54}.$

Таким образом, получаем два значения c:

$c_1 = \frac{378 + 2\sqrt{27846}}{54} \approx 13.33,$

$c_2 = \frac{378 - 2\sqrt{27846}}{54} \approx 5.67.$

Итак, уравнение $x^3 + 3x^2 - 9x - c = 0$ имеет ровно два корня при $c \approx 13.33$ и $c \approx 5.67$.