Question

1)Прямолинейное движение точки описывается законом s(t)=t^3-3t^2. Найдите ее ускорение в момент T= 2c 2) исследовать на экстремум и направление выпуклости площадью второй производной функции f(x)=x^2-5x+6

Answer 1

1)Физический смысл производной пути это есть скорость
 S'(t)=5t⁴-3t²
v(t)=S'(t)
Найдём скорость в момент времени t=2 с
v(2) = 5 * 2⁴ - 3 * 2² = 2²(5*2²-3)=4(20-3)=4*17=68 м/с И 2)ДАНОF(x) = x² -6*x +6РЕШЕНИЕКорни первой производной -  точки экстремумов.F'(x) = 2*x - 6 = 2*(x-3)Корень - х = 3 - минимумF(3) = 2*3 - 6 = 0 - минимум - ОТВЕТУ этой функции нет второй производной - нет точек перегиба.

Answer 2

1. Чтобы найти ускорение точки, нужно вычислить вторую производную функции s(t) по времени t и подставить значение времени T = 2 в полученное выражение.

Первая производная s'(t) функции s(t) (скорость) вычисляется как производная функции t^3-3t^2:

s'(t) = d/dt (t^3-3t^2) = 3t^2 - 6t.

Теперь вычислим вторую производную (ускорение) s''(t) функции s(t):

s''(t) = d/dt (3t^2 - 6t) = 6t - 6.

Теперь найдем ускорение в момент времени T = 2:

s''(T) = 6 * 2 - 6 = 12 - 6 = 6.

Таким образом, ускорение точки в момент времени T = 2 равно 6.

2. Чтобы исследовать функцию f(x) = x^2 - 5x + 6 на экстремумы и направление выпуклости площадью второй производной, нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдем первую производную функции f(x):

f'(x) = d/dx (x^2 - 5x + 6) = 2x - 5.

Шаг 2: Решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки, где производная равна нулю:

2x - 5 = 0.

2x = 5.

x = 5/2.

Критическая точка: x = 5/2.

Шаг 3: Найдем вторую производную функции f(x):

f''(x) = d/dx (2x - 5) = 2.

Шаг 4: Определим направление выпуклости площадью второй производной:

• Если f''(x) > 0 при x = 5/2, то функция выпуклая вверх.
• Если f''(x) < 0 при x = 5/2, то функция выпуклая вниз.

В данном случае, f''(x) = 2, и значение положительное, поэтому функция f(x) = x^2 - 5x + 6 выпуклая вверх.

Шаг 5: Определим экстремумы функции:

Для этого проверим знак первой производной в окрестности критической точки x = 5/2:

• Если f'(x) меняет знак с отрицательного на положительный при x = 5/2, то у функции есть локальный минимум в точке x = 5/2.
• Если f'(x) меняет знак с положительного на отрицательный при x = 5/2, то у функции есть локальный максимум в точке x = 5/2.

Посчитаем значения f'(x) для значений x, близких к 5/2:

При x = 2: f'(2) = 22 - 5 = -1. При x = 3: f'(3) = 23 - 5 = 1.

Значения f'(x) меняют знак с отрицательного на положительный при x = 5/2, поэтому у функции есть локальный минимум в точке x = 5/2.

Итак, функция f(x) = x^2 - 5x + 6 имеет локальный минимум в точке x = 5/2 и выпуклая вверх на всей числовой прямой.