Question

Решить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами y''' + 3 * y'' + 3 * y' + y = 0

Answer 1

Составляем характеристическое уравнение: k³+3*k²+3*k+1=(k+1)³=0. Отсюда k1=k2=k3=-1 и общее решение таково: y=C1*e^(-x)+C2*x*e^(-x)+C3*x²*e^(-x). Ответ: y=C1*e^(-x)+C2*x*e^(-x)+C3*x²*e^(-x). 

Answer 2

Для решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, как в данном случае, предполагается, что решение имеет вид y = e^(rt), где r - неизвестная константа, а t - независимая переменная (в данном случае - время).

Подставим y = e^(rt) в уравнение:

y' = r * e^(rt) y'' = r^2 * e^(rt) y''' = r^3 * e^(rt)

Подставляем значения производных в исходное уравнение:

r^3 * e^(rt) + 3 * r^2 * e^(rt) + 3 * r * e^(rt) + e^(rt) = 0

Теперь выносим e^(rt) за скобку:

e^(rt) * (r^3 + 3 * r^2 + 3 * r + 1) = 0

Так как e^(rt) не равно нулю (по определению экспоненты), уравнение сводится к уравнению для нахождения значений r:

r^3 + 3 * r^2 + 3 * r + 1 = 0

Это уравнение имеет трехкратный корень r = -1.

Теперь находим общее решение дифференциального уравнения:

y = C1 * e^(-t) + C2 * t * e^(-t) + C3 * t^2 * e^(-t)

где C1, C2 и C3 - произвольные постоянные, которые могут быть найдены из начальных условий, если таковые имеются, или оставлены в общем виде.