Question

Докажите тождество (n!/(k!(n-k)!))+2(n!/((k-1)!(n-(k-1))!))+((n!/((k-2)!(n-(k-2))!

Answer 1

A)k^2 + 2kn + n^2=(k+n)^2;
б)n^2 - 8n + 16=(n-4)^2;
в) 16 k^2 + 40kn + 25n^2=(4k+5n)^2; г) k^2n^2 - 2kn + 1=(kn-1)^2.

Answer 2

Чтобы доказать данное тождество, воспользуемся комбинаторным доказательством.

Предположим у нас есть n элементов, и мы хотим выбрать k элементов из них.

Левая часть (n!/(k!(n-k)!)) представляет собой количество способов выбрать k элементов из n. Это сочетание из n по k.

Правая часть ((n!/((k-1)!(n-(k-1))!)) + ((n!/((k-2)!(n-(k-2))!)) представляет собой сумму двух комбинаторных значений:

1. Количество способов выбрать (k-1) элемент из n. Это сочетание из n по (k-1).
2. Количество способов выбрать (k-2) элемента из n. Это сочетание из n по (k-2).

Теперь давайте объединим эти два действия в одно. Мы можем сначала выбрать (k-1) элемент из n, а затем добавить еще один элемент из оставшихся (n-(k-1)) элементов (так как k-1 элемент уже выбран). Это даст нам комбинаторное значение (n!/((k-1)!(n-(k-1))!).

Затем мы можем сделать то же самое, выбрав (k-2) элемента из оставшихся (n-(k-1)) элементов, и это даст нам комбинаторное значение (n!/((k-2)!(n-(k-2))!).

Таким образом, правая часть тождества также представляет собой количество способов выбрать k элементов из n.

Таким образом, левая и правая части тождества представляют собой одно и то же значение (количество способов выбрать k элементов из n), и тождество доказано.

Математически это можно записать следующим образом:

(n!/(k!(n-k)!)) + 2(n!/((k-1)!(n-(k-1))!)) + ((n!/((k-2)!(n-(k-2))!) = Сочетание из n по k (C(n,k))