Question

Integral cos(2x) d(cosx) Не понимаю, как взять интеграл не по х, а по cosx. Помогите, пожалуйста

Answer 1

$\int{cos2x} \, d(cosx) = -\int{cos2xsinx} \, dx$

но лучше преобразовать и взять по cosx:

$\int{cos2x} \, d(cosx) = \int{(2cos^2x-1)} \, d(cosx)= \frac{2}{3} cos^3x-cosx+C$

Answer 2

Для вычисления интеграла ∫cos(2x) d(cosx) нужно произвести замену переменных. Давайте разберемся пошагово.

1. Предположим, что u = cos(x). Это означает, что мы будем интегрировать по переменной u вместо x.

2. Теперь дифференцируем u по x, чтобы получить d(cosx):

   du/dx = d(cosx)/dx = -sin(x)

3. Теперь выразим dx через du:

   dx = du / (-sin(x))

4. Теперь заменим dx в исходном интеграле:

   ∫cos(2x) d(cosx) = ∫cos(2x) (-sin(x)) du

5. Теперь интегрируем по u:

   ∫cos(2x) d(cosx) = -∫cos(2x)sin(x) du

6. Теперь проинтегрируем ∫cos(2x)sin(x) du. Для этого сделаем частичное интегрирование, где первую функцию возьмем u, а вторую проинтегрируем:

   ∫cos(2x)sin(x) du = -1/2 cos(2x) + C

   где C - произвольная постоянная интегрирования.

7. Таким образом, окончательный ответ:

   ∫cos(2x) d(cosx) = -(-1/2 cos(2x) + C) = 1/2 cos(2x) + C

Где C - постоянная интегрирования. Это окончательное выражение для интеграла ∫cos(2x) d(cosx) в терминах переменной x.