Question

Найти производную у=arcsin x^3 y=(5x-1) In^2 x y=e^1-4x + e^4x-1/e^1-4x - e^4x-1

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно вычислить производные для каждой из заданных функций. Давайте по очереди найдем производные для каждой функции:

1. Первая функция: y = arcsin(x^3).

Для вычисления производной данной функции, используем цепное правило (chain rule).

По цепному правилу, если у нас есть функция y = f(g(x)), то её производная будет равна произведению производной внешней функции f'(u) и производной внутренней функции g'(x), где u = g(x).

В данном случае, внешняя функция f(u) = arcsin(u), а внутренняя функция g(x) = x^3.

Тогда: f'(u) = d/dx(arcsin(u)) = 1/sqrt(1 - u^2) (производная arcsin(u)) g'(x) = d/dx(x^3) = 3x^2 (производная x^3)

Теперь, применим цепное правило: dy/dx = f'(g(x)) * g'(x) dy/dx = (1/sqrt(1 - (x^3)^2)) * 3x^2 dy/dx = (1/sqrt(1 - x^6)) * 3x^2 dy/dx = 3x^2 / sqrt(1 - x^6)

2. Вторая функция: y = (5x - 1) * ln^2(x).

Для вычисления производной данной функции, используем правило произведения (product rule).

По правилу произведения, если у нас есть функция y = u * v, то её производная будет равна произведению первой функции на производную второй, плюс произведение второй функции на производную первой.

В данном случае, первая функция u(x) = (5x - 1), а вторая функция v(x) = ln^2(x).

Тогда: u'(x) = d/dx(5x - 1) = 5 (производная (5x - 1)) v'(x) = d/dx(ln^2(x)) = (2/x) * ln(x) (производная ln^2(x))

Теперь, применим правило произведения: dy/dx = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x) dy/dx = 5 * ln^2(x) + (5x - 1) * (2/x) * ln(x) dy/dx = 5 * ln^2(x) + (10x - 2) * ln(x) / x

3. Третья функция: y = (e^(1-4x) + e^(4x-1)) / (e^(1-4x) - e^(4x-1)).

Для вычисления производной данной функции, используем правило частного (quotient rule).

По правилу частного, если у нас есть функция y = u(x) / v(x), то её производная будет равна (производная u(x) * v(x) - u(x) * производная v(x)) / (v(x))^2.

В данном случае, первая функция u(x) = e^(1-4x) + e^(4x-1), а вторая функция v(x) = e^(1-4x) - e^(4x-1).

Тогда: u'(x) = d/dx(e^(1-4x) + e^(4x-1)) = -4e^(1-4x) + 4e^(4x-1) (производная e^(1-4x) + e^(4x-1)) v'(x) = d/dx(e^(1-4x) - e^(4x-1)) = -4e^(1-4x) - 4e^(4x-1) (производная e^(1-4x) - e^(4x-1))

Теперь, применим правило частного: dy/dx = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / (v(x))^2 dy/dx = ((-4e^(1-4x) + 4e^(4x-1)) * (e^(1-4x) - e^(4x-1)) - (e^(1-4x) + e^(4x-1)) * (-4e^(1-4x) - 4e^(4x-1))) / (e^(1-4x) - e^(4x-1))^2

Данная производная может быть дальше упрощена, но это основная итоговая формула для третьей функции.

Итак, мы нашли производные для всех трех функций:

1. dy/dx = 3x^2 / sqrt(1 - x^6) (производная первой функции)
2. dy/dx = 5 * ln^2(x) + (10x - 2) * ln(x) / x (производная второй функции)
3. dy/dx = ((-4e^(1-4x) + 4e^(4x-1)) * (e^(1-4x) - e^(4x-1)) - (e^(1-4x) + e^(4x-1)) * (-4e^(1-4x) - 4e^(4x-1))) / (e^(1-4x) - e^(4x-1))^2 (производная третьей функции)