Question

Найдите целые корни уравнения x^3+5x^2-17x-21=0

Answer 1

x^3+5x^2-17x-21=0 , тупо "замечаем" что -1 является корнем
(x^3 + x^2) + (4x^2 + 4x) - ( 4x +17x + 21 ) = 0
x^2 *( x+1 ) + 4*x*( x+1 ) - 21*( x+1 ) =0
( x+1 ) * ( x^2 + 4*x - 21 ) = 0 ; теоремой Виета находим остальные корни 3 и -7
( x + 1 ) * ( x + 7 ) * ( x - 3 ) = 0

Answer 2

Для поиска целых корней уравнения $x^3+5x^2-17x-21=0$, мы можем применить метод перебора (метод проб и ошибок), начиная с делителей свободного члена $21$ (коэффициент при $x^0$). Из уравнения видно, что $x = -1$ является корнем уравнения:

$(-1)^3 + 5(-1)^2 - 17(-1) - 21 = -1 + 5 + 17 - 21 = 0$

Теперь нам нужно разделить исходное уравнение на $(x + 1)$ с помощью деления многочленов:

$$\begin{array}{l|rrrr} \text{Деление} & x^3 & + 5x^2 & - 17x & - 21 \\ \hline x + 1 & x^3 & + x^2 & & \\ & -(x^3 & + x^2) & & \\ \hline \text{Разность} & & 4x^2 & - 17x & \\ & & -(4x^2 & - 4x^2) & \\ \hline & & & -13x & - 21 \\ & & & + (13x & + 13) \\ \hline & & & & -8 \end{array}$$

Таким образом, мы получаем частное $x^2 + 4x - 13$ и остаток $-8$. Теперь у нас есть уравнение вида $(x + 1)(x^2 + 4x - 13) - 8 = 0$.

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение $x^2 + 4x - 13 = 0$. Мы можем сделать это с помощью квадратного уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

где у нас есть $a = 1$, $b = 4$ и $c = -13$. Подставим значения и рассчитаем корни:

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13)}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 52}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -2 \pm \sqrt{17}$

Таким образом, уравнение имеет три корня: $x = -1$, $x = -2 + \sqrt{17}$ и $x = -2 - \sqrt{17}$. Из них только $x = -1$ является целым корнем.