Question

Найти частное решение, дифференциального уравнения, удовлетворяющих начальным условиям: y/+xy=0 если y(0)=2 ;

Answer 1

Это дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной, ДУ с разделяющимися переменными.

$\dfrac{dy}{dx} =-xy$

Разделяя переменные, получим

$\dfrac{dy}{y}=-xdx$ уравнение с разделёнными переменными.

Проинтегрируем левую и правую части уравнения, получаем

$\displaystyle \int \dfrac{dy}{y}=-\int xdx ~~\Rightarrow~~~ \ln|y|=- \dfrac{x^2}{2} +C$
Получили общий интеграл.

Осталось найти частный интеграл, подставив начальные условия

$\ln|2|=- \dfrac{0^2}{2} +C~~~~\Rightarrow~~~ C=\ln2$


Ответ:  $\ln|y|=- \dfrac{x^2}{2} +\ln 2$  - частный интеграл

Answer 2

Для того чтобы найти частное решение дифференциального уравнения и удовлетворить начальным условиям, нужно проинтегрировать уравнение и затем использовать начальное условие, чтобы определить произвольную постоянную.

Данное дифференциальное уравнение имеет вид:

dy/dx + x*y = 0

Для начала, перенесем все члены, содержащие y, на одну сторону уравнения:

dy/dx = -x*y

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения. Интегрирование будет выглядеть следующим образом:

∫(1/y) dy = ∫(-x) dx

Интегрирование дает нам:

ln|y| = -0.5*x^2 + C

где C - постоянная интегрирования.

Теперь, применим начальное условие, чтобы найти значение постоянной C. Изначально дано, что y(0) = 2, значит при x=0, y=2:

ln|2| = -0.5*0^2 + C

ln|2| = C

Таким образом, значение C равно ln|2|.

Теперь, подставим значение C обратно в интегральное уравнение:

ln|y| = -0.5*x^2 + ln|2|

Теперь возведем обе стороны в экспоненту:

|y| = e^(-0.5*x^2 + ln|2|)

Так как y может быть положительным или отрицательным, уберем модуль, используя свойство: |a| = ±a:

y = ± e^(-0.5*x^2 + ln|2|)

Упростим еще дальше:

y = ± e^(ln|2|) * e^(-0.5*x^2)

y = ± 2 * e^(-0.5*x^2)

Таким образом, получили общее решение дифференциального уравнения. Однако, чтобы удовлетворить начальным условиям y(0) = 2, нужно подставить это значение x=0 в уравнение.

y(0) = ± 2 * e^(-0.5*0^2)

y(0) = ± 2 * e^0

y(0) = ± 2 * 1

y(0) = ± 2

Из начального условия следует, что y(0) = 2, а не y(0) = -2 (так как у нас не может быть двух различных значений, удовлетворяющих начальным условиям).

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям, будет:

y = 2 * e^(-0.5*x^2)