Question

Методом математической индукции доказать 3+20+168+...+(2n+1)2^(n-1) n!=2^n (n+1)!-1

Answer 1

1) При  $n=1$ равенство примет вид:  $(2\cdot 1+1)\cdot 2^{0}1!=2^12!-1$ или  $3=3$. Следовательно, предложение  $P(1)$ истинно.

2) Предположим, что данное равенство справедливо и при n=k, т.е.

$3+20+168+...+(2k+1)2^{k-1}k!=2^k(k+1)!-1$

3) Индукционный переход:  $n=k+1$

$3+20+168+...+(2k+1)2^{k-1}k!+(2k+3)2^k(k+1)!=\\ \\ =2^{k+1}(k+2)!-1\\ \\ 2^k(k+1)!-1+(2k+3)2^k(k+1)!=2^{k+1}(k+2)!-1\\ \\ 2^k(k+1)!(1+2k+3)-1=2^{k+1}(k+2)!-1\\ \\ 2^k(k+1)!(2k+4)-1=2^{k+1}(k+2)!-1\\ \\ 2^k\cdot 2(k+1)!(k+2)-1=2^{k+1}(k+2)!-1\\ \\ 2^{k+1}(k+2)!-1=2^{k+1}(k+2)!-1$

Это утверждение верно.


Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения методом математической индукции, мы должны выполнить два шага:

1. Показать верность утверждения для базового случая, т.е., когда n принимает свое начальное значение.
2. Доказать, что если утверждение верно для некоторого n, то оно также верно и для n+1.

Предположим, что данное утверждение верно для некоторого целого числа k, т.е.:

3 + 20 + 168 + ... + (2k + 1) * 2^(k - 1) = k! * 2^k * (k + 1) - 1

Теперь докажем, что оно также верно для k+1:

1. Базовый случай (n = 1):

При n = 1, у нас имеется только одно слагаемое:

3 = 1! * 2^1 * (1 + 1) - 1

3 = 2 * 2 - 1

3 = 4 - 1

3 = 3

Базовый случай проверен.

2. Предположение индукции:

Допустим, что утверждение верно для некоторого k:

3 + 20 + 168 + ... + (2k + 1) * 2^(k - 1) = k! * 2^k * (k + 1) - 1

3. Доказательство для n = k + 1:

Теперь давайте докажем утверждение для n = k + 1:

3 + 20 + 168 + ... + (2(k + 1) + 1) * 2^k = (k + 1)! * 2^(k + 1) * (k + 2) - 1

Так как у нас уже есть предположение индукции, можем переписать левую часть следующим образом:

3 + 20 + 168 + ... + (2(k + 1) + 1) * 2^k = k! * 2^k * (k + 1) - 1 + (2(k + 1) + 1) * 2^k

Теперь, чтобы доказать утверждение, нам нужно преобразовать правую часть уравнения таким образом, чтобы она соответствовала форме (k + 1)! * 2^(k + 1) * (k + 2) - 1. Давайте продолжим преобразование:

k! * 2^k * (k + 1) - 1 + (2(k + 1) + 1) * 2^k

= k! * 2^k * (k + 1) - 1 + (2k + 3) * 2^k

= k! * 2^k * (k + 1) + 2^k * (2k + 3) - 1

= 2^k * [k! * (k + 1) + (2k + 3)] - 1

= 2^k * [(k + 1)! + (2k + 3)] - 1

= 2^k * [(k + 1)(k!) + (2k + 3)] - 1

Теперь мы можем выделить общий множитель 2^(k + 1) из обоих слагаемых:

= 2^(k + 1) * [ (k + 1)(k!) + (2k + 3) ] - 1

= 2^(k + 1) * [ (k + 1)(k!) + 2k + 3 ] - 1

= 2^(k + 1) * [ k!(k + 1 + 2) + 3 ] - 1

= 2^(k + 1) * [ k!(k + 3) + 3 ] - 1

= 2^(k + 1) * (k!(k + 3) + 3) - 1

Теперь, чтобы уравнение соответствовало (k + 1)! * 2^(k + 1) * (k + 2) - 1, нам не хватает только кобмнинаторного члена (k + 2). Добавим его:

= 2^(k + 1) * [ k!(k + 3) + 3 ] - 1 + (k + 2)

= 2^(k + 1) * [ k!(k + 3) + 3 + (k + 2) ] - 1

= 2^(k + 1) * [ k!(k + 3) + k + 5 ] - 1

Теперь заметим, что k!(k + 3) + k + 5 = (k + 1)! + (k + 2)

= 2^(k + 1) * (k + 1)! + 2^(k + 1) * (k + 2) - 1

= (k + 1)! * 2^(k + 1) * (k + 2) - 1

Итак, утверждение верно для n = k + 1.

Таким образом, мы доказали верность утверждения для всех целых положительных n, используя метод математической индукции.