Question

Объем сферы, полярные координаты.Объясните пожалуйста, откуда здесь взялось x^2

Answer 1

В полярных координатах:
x = r cos(ф)
y = r sin(ф)
z = z
интегрирование по ф происходит от 0 до 2п
интегрирование по z происходит от -R до R
интегрирование по r происходит от 0 до ( R^2 - z^2 )^(1/2)
дифференциально малый объем из dx dy dz переходит в 
r dr dф dz
Не очень понятно, о каком x^2 идет речь =(

Answer 2

В полярных координатах (r, θ), точка в трехмерном пространстве может быть представлена с помощью радиуса r и угла θ. Таким образом, координаты точки могут быть записаны как (r, θ, z), где z - это высота точки вдоль оси z (обычно вертикальная ось).

Для объема сферы в полярных координатах с центром в начале координат (0, 0, 0), радиусом R и пределами (θ = 0 до π) и (φ = 0 до 2π) используется следующий интеграл:

V = ∫∫∫ r^2 * sin(θ) dr dθ dφ

где:

• r - радиус точки в полярных координатах (от 0 до R для объема сферы)
• θ - полярный угол (от 0 до π)
• φ - азимутальный угол (от 0 до 2π)
• sin(θ) - якобиан преобразования между декартовыми и полярными координатами

Теперь, для вычисления объема сферы, вам нужно взять интеграл от r^2 * sin(θ) по r от 0 до R, затем по θ от 0 до π и, наконец, по φ от 0 до 2π.

Однако, я замечаю, что вы упомянули x^2, что не соответствует полярным координатам. Возможно, у вас был вопрос об объеме сферы в декартовых координатах (x, y, z)? В таком случае, объем сферы радиусом R будет вычисляться с помощью следующего уравнения:

V = ∫∫∫ 1 dxdydz

где:

• x, y, z - декартовы координаты точек внутри сферы
• пределы интегрирования: x^2 + y^2 + z^2 ≤ R^2

Этот интеграл, по сути, означает, что мы интегрируем константу (1) по объему сферы, что даст нам объем сферы радиусом R.