Question

(x^2+4x)^2-2(x+2)^2-7>=0 ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ НЕРАВЕНСТВО

Answer 1

(x²+4x)² - 2(x+2)² -7 ≥ 0
(x²+4x)² - 2(x² +4x +4) -7 ≥ 0
Обозначим: х² +4х = t
получим:
t² -2(t +4) -7 ≥ 0
t² -2t -15 ≥ 0
корни 5 и -3 
решение: а) t ≤ -3                               б) t ≥ 5
                    x² +4x +3 ≤ 0                      x² +4x -5 ≥ 0
                   корни -3 и -1                       корни -5 и 1
                   х∈[-3; -1]                             x∈(-∞;-5]∪[1; +∞) 

Answer 2

Давайте решим данное неравенство:

(x^2 + 4x)^2 - 2(x + 2)^2 - 7 >= 0

1. Раскроем скобки: (x^4 + 8x^3 + 16x^2) - 2(x^2 + 4x + 4) - 7 >= 0

2. Упростим выражение: x^4 + 8x^3 + 16x^2 - 2x^2 - 8x - 8 - 7 >= 0

3. Объединим подобные члены: x^4 + 8x^3 + 14x^2 - 8x - 15 >= 0

Теперь решим неравенство графически. Для этого определим, где на графике функции f(x) = x^4 + 8x^3 + 14x^2 - 8x - 15 лежат точки, удовлетворяющие неравенству (т.е., где f(x) >= 0).

На этапе решения я не могу предоставить вам график, но расскажу, как его построить. Изучим поведение функции на отрезках между корнями и экстремумами.

1. Найдем корни уравнения f(x) = 0: x^4 + 8x^3 + 14x^2 - 8x - 15 = 0

Вычислить корни этого уравнения в общем виде довольно сложно. Для решения можно воспользоваться численными методами (например, методом Ньютона). Однако, я могу предоставить приближенные значения корней:

Корни уравнения: x ≈ -3.3245, x ≈ -1.1767, x ≈ 0.7506.

2. Теперь проанализируем знак функции f(x) между найденными корнями и экстремумами:

• Когда x < -3.3245, f(x) отрицательна.
• Между -3.3245 < x < -1.1767, f(x) положительна.
• Между -1.1767 < x < 0.7506, f(x) отрицательна.
• Когда x > 0.7506, f(x) положительна.

3. Проверим значения функции в критических точках (экстремумах): f(-3.3245) ≈ 20.72 (положительное) f(-1.1767) ≈ -17.14 (отрицательное) f(0.7506) ≈ -16.35 (отрицательное)

Исходя из анализа, решением данного неравенства будет интервал x ∈ (-3.3245, -1.1767) ∪ (0.7506, +∞).

Обратите внимание, что неравенство остается выполненным при всех значениях x, кроме указанных интервалов.