Question

На доске написано 5 целых чисел. Сложив их попарно, получили следующие 10 чисел: 0, 2, 4, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15. Какие пять чисел были написаны на доске?

Answer 1

Пусть написаны числа А, B, C, D, E - в порядке возрастания. Очевидно, что среди чисел нет нулей, иначе бы среди попарных сумм было более одной пары одинаковых. По той же причине среди A,B,C,D,E нет одинаковых. Следовательно среди чисел есть отрицательное, причем ровно одно, иначе была бы отрицательная сумма. Итак, А отрицательно, причем, именно В=-А (иначе, получится, что В не наименьшее из положительных) . Но тогда, А+С=2. И ясно, что одна из четверок получается из суммы А+D, а вторая из B+C. Таким образом, получаем систему уравнений: B=-A A+C=2 A+D=4 B+C=4 D+E=15 Решив ее, получим: A = -1, B = 1, C = 3, D = 5, E = 10 Остальные суммы позволяют проверить, что найденное решение удовлетворяет условию.

Answer 2

Чтобы найти исходные пять чисел, давайте обозначим их за A, B, C, D и E. По условию, мы знаем, что сложив их попарно, мы получим 10 чисел: 0, 2, 4, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15.

Составим систему уравнений на основе этой информации:

1. A + B = 0
2. A + C = 2
3. A + D = 4
4. A + E = 4
5. B + C = 6
6. B + D = 8
7. B + E = 9
8. C + D = 11
9. C + E = 13
10. D + E = 15

Теперь решим эту систему уравнений. Выразим все переменные через A:

B = 0 - A C = 2 - A D = 4 - A E = 4 - A

Подставим полученные выражения в уравнения (6), (7), (9) и (10) соответственно:

(0 - A) + (2 - A) = 6 (0 - A) + (4 - A) = 9 (2 - A) + (4 - A) = 13 (4 - A) + (4 - A) = 15

Решим эти уравнения:

-2A + 2 = 6 -2A + 4 = 9 -2A + 6 = 13 -2A + 8 = 15

Получаем:

-2A = 4 -2A = 5 -2A = 7 -2A = 7

Мы получили противоречивые уравнения. Это значит, что такой набор чисел на доске не существует, и задача имеет некорректное решение. Возможно, была допущена ошибка при записи данных или есть некоторые дополнительные условия, которые не были учтены.