Question

4. В арифметической прогрессии a 2 + a 4 = 16 a2+a4=16, a 1 ⋅ a 5 = 28 a1⋅a5=28. Найдите a 1 a1. В ответ запишите наибольшее значение a 1 a1.

Answer 1

$(a_n)$ - арифметическая прогрессия
$a_2+a_4=16 \\ a_1*a_5=28$
По свойству арифметической прогрессии:
$a_2+a_4=a_1+a_5=16$
Исходя из теоремы Виета составим квадратное уравнение и решим его.
$\left \{ {{x_1+x_2=16} \atop{x_1*x_2=28}} \right. \\ x^2-16+28=0 \\D=256-112=144=12^2 \\ x_1=\frac{16-12}{2}=2 \\ x_2=\frac{16+12}{2}=14$
Оба значения могут быть присвоены либо первому, либо пятому члену. В случае a1=2 прогрессия возрастающая. В случае a1=14 прогрессия убывающая.
Ответ: 14

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать общую формулу для арифметической прогрессии (АП):

a_n = a_1 + (n - 1) * d,

где a_n - n-ый член прогрессии, a_1 - первый член прогрессии, n - номер члена прогрессии, d - разность прогрессии.

Используем данную формулу для a_2 и a_4:

a_2 = a_1 + d, a_4 = a_1 + 3d.

Также дано, что a_2 + a_4 = 16:

(a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 16, 2a_1 + 4d = 16, a_1 + 2d = 8.

Теперь найдем произведение a_1 и a_5:

a_1 * a_5 = (a_1 + 4d) * (a_1 + 6d) = a_1^2 + 10a_1 * d + 24d^2.

У нас также есть информация, что a_1 * a_5 = 28:

a_1^2 + 10a_1 * d + 24d^2 = 28.

Теперь у нас есть две уравнения:

1. a_1 + 2d = 8,
2. a_1^2 + 10a_1 * d + 24d^2 = 28.

Можем решить первое уравнение относительно d:

d = (8 - a_1) / 2.

Подставим это значение d во второе уравнение:

a_1^2 + 10a_1 * ((8 - a_1) / 2) + 24 * ((8 - a_1) / 2)^2 = 28.

Теперь найдем a_1^2:

a_1^2 + 10a_1 * (4 - a_1) + 6 * (8 - a_1)^2 = 28, a_1^2 + 40 - 10a_1 + 6 * (64 - 16a_1 + a_1^2) = 28, a_1^2 + 40 - 10a_1 + 384 - 96a_1 + 6a_1^2 = 28, 7a_1^2 - 106a_1 + 396 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение:

a_1 = (-(-106) ± √((-106)^2 - 4 * 7 * 396)) / (2 * 7), a_1 = (106 ± √(11236 - 11088)) / 14, a_1 = (106 ± √148) / 14.

Таким образом, получим два значения a_1:

a_1 = (106 + √148) / 14 ≈ 5.68, a_1 = (106 - √148) / 14 ≈ 1.32.

Наибольшее значение из этих двух будет округлено до ближайшего целого числа, и это будет ответ:

Наибольшее значение a_1 = 6.