Question

ПОМОГИТЕ ПЖЛ СРОЧНО ДАМ 100 БАЛЛОВ!!!! 1)При каком значении a корни x₁ и x₂ уравнения x²-ax+a-1=0 удовлетворяют условию x₁²+x₂²=122? 2)Составьте квадратное уравнение с корнями x₁=5+2√6/4 x₂=5-2√6/4 3)Дано квадратное уравнение ax²+bx+c=0 с корнями α и β,где α≠0,c≠0.Постройте квадратное уравнение с корнями α³β и αβ³ 4)При каких значений y и z сумма корней уравнения x²+3x-10=0 равна (2y-z), а произведение корней уравнение равно (y+2z)?

Answer 1

1) по т. Виета
x₁ + x₂ = a
x₁x₂ = a-1

(x₁ + x₂)^2 = x₁² + x₂² + 2x₁x₂ = a²

122 + 2a - 2 = a²
a² - 2a - 120 = 0
D = 4 + 480 = 484 = 22²
a₁ = (2 - 22)/2 = -10
a₂ = (2 + 22)/2 = 12

Ответ: при а = -10 и а = 12

2) x₁ + x₂ = 10 = -b
x₁x₂ = 25 - (2√6/4)² = 25 - 6/4 = 25 - 1,5 = 23,5 = c

x² - 10x + 23,5 = 0 - искомое уравнение

3) по теореме Виета: 
α + β = -b/a
αβ = c/a

α³β+αβ³ = αβ(α²+β²) = αβ((α+β)² - 2αβ) = c/a * (b²/a² - 2c/a) = c(b²-2ac)/a³

α³β*αβ³ = (αβ)⁴ = c⁴/a⁴

уравнение: a⁴x² + (2ac - b²)acx + c⁴ = 0

4)
2y - z = -3 => z = 2y + 3
y + 2z = -10
y + 4y + 6 = -10
5y = -16

y = -3.2
z = -3.4

Answer 2

1. Пусть у нас есть квадратное уравнение x² - ax + (a - 1) = 0, где корни обозначены как x₁ и x₂. Нам нужно найти такое значение a, при котором сумма квадратов корней равна 122, то есть x₁² + x₂² = 122.

Известно, что сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при линейном члене с обратным знаком, деленному на коэффициент при квадратном члене. То есть, x₁ + x₂ = a.

Теперь используем формулу суммы квадратов корней: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂

Мы знаем, что x₁ + x₂ = a, поэтому: x₁² + x₂² = a² - 2x₁x₂

Теперь нам нужно найти a, при котором x₁² + x₂² = 122. Подставим это условие в уравнение: a² - 2x₁x₂ = 122

Теперь найдем произведение корней квадратного уравнения, которое равно свободному члену, деленному на коэффициент при квадратном члене. То есть, x₁x₂ = (a - 1).

Теперь у нас есть два уравнения: a² - 2x₁x₂ = 122 x₁x₂ = (a - 1)

Мы знаем, что x₁ и x₂ являются корнями уравнения x² - ax + (a - 1) = 0. Таким образом, x₁x₂ = (a - 1).

Теперь можно решить систему уравнений, подставив второе уравнение в первое:

a² - 2(a - 1) = 122 a² - 2a + 2 = 122 a² - 2a - 120 = 0

Теперь решим квадратное уравнение для a. Мы можем разложить его на множители или использовать квадратное уравнение, чтобы найти значения a:

a = (2 ± √(2² - 4 * 1 * (-120))) / 2 a = (2 ± √(4 + 480)) / 2 a = (2 ± √484) / 2 a = (2 ± 22) / 2

Теперь найдем два возможных значения a: a₁ = (2 + 22) / 2 = 24 / 2 = 12 a₂ = (2 - 22) / 2 = -20 / 2 = -10

Таким образом, уравнение имеет два значения a, при которых x₁² + x₂² = 122: a = 12 и a = -10.

2. Мы знаем, что квадратное уравнение имеет корни x₁ = 5 + 2√6/4 и x₂ = 5 - 2√6/4.

Для составления квадратного уравнения с такими корнями, мы можем использовать формулу для суммы и произведения корней:

Сумма корней: x₁ + x₂ = (5 + 2√6/4) + (5 - 2√6/4) = 10 Произведение корней: x₁ * x₂ = (5 + 2√6/4) * (5 - 2√6/4) = (5)² - (2√6/4)² = 25 - 6/4 = 25 - 3/2 = 23/2

Теперь у нас есть сумма и произведение корней, и мы можем составить уравнение вида x² - (сумма корней) * x + (произведение корней) = 0:

x² - 10x + 23/2 = 0

3. Пусть у нас есть квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 с корнями α и β.

Мы хотим построить уравнение с корнями α³β и αβ³.

Из свойств корней квадратного уравнения, мы знаем, что сумма корней равна коэффициенту при линейном члене с обратным знаком, деленному на коэффициент при квадратном члене: α + β = -b / a

Также мы знаем, что произведение корней равно свободному члену, деленному на коэффициент при квадратном члене: α * β = c / a

Теперь, чтобы найти уравнение с корнями α³β и αβ³, давайте найдем их сумму и произведение:

α³β + αβ³ = αβ(α² + β²)

Из свойства квадратного уравнения, что сумма квадратов корней равна (α + β)² - 2αβ, мы можем записать α² + β² = (α + β)² - 2αβ.

Теперь, подставим в наше выражение:

α³β + αβ³ = αβ((α + β)² - 2αβ)

Теперь заменим α + β на -b/a и αβ на c/a:

α³β + αβ³ = -b/a * (b/a)² - 2(c/a)

α³β + αβ³ = -b³/a³ + 2c/a

Теперь, чтобы получить квадратное уравнение с корнями α³β и αβ³, составим уравн