Question

Исследовать функцию и построить ее график y=6x-2x^3

Answer 1

1) найдем экстремумы
y'=6-6x²
у'=0
6(1-x²)=0
x²=1
x1=-1   у(-1)=-6+2=-4
x2=1    у(1)=6-2=4
исследуем знаки производной на интервалах см на картинке

2) точки пересечения с ОХ
у=0
6х-2х³=0
2х(3-х²)=0
х1=0
х2=√3
х4=-√3

Answer 2

Для исследования функции y = 6x - 2x^3 сначала определим ее основные характеристики:

1. Область определения: функция определена для всех действительных значений x, так как не имеет никаких ограничений в знаменателе или под корнем.

2. Нули функции: Нули функции - это значения x, при которых y = 0. Найдем нули:

   0 = 6x - 2x^3

   2x^3 = 6x

   x(2x^2 - 6) = 0

   x = 0 или 2x^2 - 6 = 0

   x = 0 или 2x^2 = 6

   x = 0 или x^2 = 3

   x = 0 или x = ±√3

Таким образом, нули функции: x = 0, x = √3 и x = -√3.

3. Знаки производной: Найдем производную функции и определим ее знаки:

   y = 6x - 2x^3

   y' = d/dx (6x - 2x^3)

   y' = 6 - 6x^2

   Для x = 0: y'(0) = 6 - 6(0)^2 = 6 > 0 (положительное)

   Для x = √3: y'(√3) = 6 - 6(√3)^2 = 6 - 6(3) = -18 < 0 (отрицательное)

   Для x = -√3: y'(-√3) = 6 - 6(-√3)^2 = 6 - 6(3) = -18 < 0 (отрицательное)

Таким образом, производная положительна в интервале (-∞, 0), отрицательна в интервалах (0, -√3) и (√3, +∞).

4. Экстремумы: Для определения экстремумов найдем точки, в которых производная равна нулю:

   6 - 6x^2 = 0

   6x^2 = 6

   x^2 = 1

   x = ±1

Таким образом, у функции есть экстремумы в точках x = 1 и x = -1.

5. Выпуклость и вогнутость: Для определения выпуклости и вогнутости найдем вторую производную и ее знаки:

   y' = 6 - 6x^2

   y'' = d/dx (6 - 6x^2)

   y'' = -12x

   Для x = 0: y''(0) = -12(0) = 0 (по второй производной нельзя определить выпуклость/вогнутость)

   Для x = 1: y''(1) = -12(1) = -12 < 0 (вогнутая вверх)

   Для x = -1: y''(-1) = -12(-1) = 12 > 0 (выпуклая вверх)

Таким образом, функция вогнута вверх на интервале (-∞, -1) и выпукла вверх на интервале (-1, +∞).

Теперь построим график функции:

[Вставка графика функции y=6x-2x^3]

На графике можно увидеть, что функция проходит через точки (0, 0), (1, 4), и (-1, -4). Функция имеет локальный максимум в точке (1, 4) и локальный минимум в точке (-1, -4). Также на графике видно, что функция вогнута вверх на интервале (-∞, -1) и выпукла вверх на интервале (-1, +∞).